Résolution de l'équation x + y+ 7 = ppcm (x,y)

Bonjour à tous,

J'ai un souci avec mon exo de spécialité.

On a (x,y) ∈ $mathbb{N}$ *², x + y + 7 = ppcm (x,y) et d = pgcd (x,y).
a) montrer que d =1 ou d=7
b) montrer que si d = 1, alors x-1 divise 8 et y-1 est le quotient de 8 par x-1
c) montrer que d =7 alors en posant x=7x' et y=7y', on a (x' -1)(y'-1) = 2

Je sais que x*y = pgcd (x,y) x ppcm (x,y), mais je me retrouve rapidement bloquée dans mes calculs.

Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ?
Merci d'avance
Emtec.

Bonjour,
Si d est le PGCD de x et y, il divise x et y, mais que divise-t-il encore ?

Il divise aussi le ppcm (x,y), soit x+y+7 ?

Oui, et il divise aussi x+y , donc ...

Il divise aussi 7. Mais cette question là (a)), j'ai réussi à la faire.
Celle qui me pose vraiment un probleme, c'est la c).
Peux tu m'expliquer ?

Merci de m'aider.

Que peut-on dire de x' et y' ?
Quel est leur PPCM ?

x' et y' sont premeirs entre eux. Leur PPCm est x/7 +y/7 +7 mais après ...

Citation
Leur PPCm est x/7 +y/7 +7Erreur : x/7 +y/7 +7
/7
Après, c'est comme pour la b).
Calcule (x'-1)(y'-1)

Pourquoi 7/7 ?

(x'-1) (y'-1) = ( x/7 -1) (y/7 1)
Faut il que je commence bien par là ?

Parce que si des nombres sont divisés par 7 , leur PPCM aussi.
Je réponds à ta première question.
Poste un seul message à la fois.

(x'-1) (y'-1) = (x/7 -1) (y/7 -1)
Est ce le bon point de départ ?

Non : développe (x'-1)(y'-1) : ne reviens pas aux anciens x et y.
As-tu su faire la question b ?

Je l'ai faite mais je sais pas si ce que j'ai fait ai juste.
(x'-1)(y'-1) = x'y' - x' - y' + 1 mais là je voies pas ce qu'il faut faire ensuite. Faut il remplacer x' et y' ?

Non . Apparemment tu n'as pas su faire la b) ?
Que vaut x'y' ?

Pour la b) Si d =1 alors xy = x + y + 7
soit xy - x - y = 7 et j'ai ajouter 1 de chaque coté de sorte à avoir
x*y - x - y + 1 = 8 et je peux ainsi factoriser et avoir
(x-1) (y-1) = 8, on a bien (x-1) qui divise 8 et (y-1) est le quotient de 8 par (x-1).

x'y' = x/7 *y/7 soit xy /49 ?

Citation
x'y' = x/7 *y/7 soit xy /49 ?Ca ne mène à rien.

Que peux-tu dire de x'et y' ?
Quel est leur PGCD ?
Quel est leur PPCM ?

x' et y' sont Premeiers entre eux donc leur pgcd est égal à 1 mais pour leur ppcm ...

Tu as dit plus haut que le produit de deux nombres est égal au produit de leur PGCD par leur PPCM
Donc PPCM(x',y') = ...

PPcm (x',y') = x'y'/ pgcd (x',y') = x'y' car pgcd (x',y')=1

Oui, tu peux reprendre :
(x'-1)(y'-1) = x'y' - x' - y' + 1
Sachant que x'y' = PPCM(x',y') , lequel vaut aussi ?

Je voies pas comment déterminer le PPCM ( x',y') étant que tu as dit que cela servait à rien de faire x/7 *y/7. Que faire alors ?

Et ce que j'avais fait pour b), ca allait ou je dois tout reprendre ?

Le PPCM de x et de y est x+y+7
J'ai dit plus haut que si des nombres sont divisés par 7 , leur PPCM aussi.
Quel est alors le PPCM de x' et y' ( connaissant celui de x et y ci-dessus ) ?

Je dirais que PPCM (x',y') = x/7 + y/7 + 7/7

Oui, mais x/7 = x'
y/7 = y'
et 7/7 = 1

Tu peux reprendre :
(x'-1)(y'-1) = x'y' - x' - y' + 1
(Sachant que x'y' = ... )

On a (x'-1)(y'-1) = x'y' - x' - y' + 1
soit x/7 + y/7 + 1 - x/7 - y/7 +1 = 2

C'est ça ?

Oui, mais c'était plus simple d'écrire
(x'-1)(y'-1) = x'+y' + 1 - x'-y' + 1

D'accord, merci beaucoup pour ton aide.
Encore une dernière question :
ce que j'ai fait pour mon b), est ce que c'est juste ou faut-il faire autrement ?

Non : c'est bon comme tu as fait.

Super, merci beaucoup pour ton aide mathtous.
A bientot.
Emtec

De rien.
A+