Suites du type U(n+1)=aUn+b



  • Bon je vous explique mon problème mon professeur s'est dit que ce serait bien de nous donner un DM sur les suites sans que l'on est est encore étudié donc je comprend la toute première question mais pas plus donc si vous pourriez m'aider car je suis complètement largué là,merci d'avance pour tout.

    Soit (Un)n>(ou égal)0 la suite définie par Uo(réel donné) et
    U(n+1)=f(Un) avec f(x)=ax+b,
    a réel donné non nul, b rél donné quelconque.

    1)Quelle est la nature de (Un) dans le cas ou a=1 et dans le cas ou b=0?

    2)Montrer que dans l'équation f(x)=x possède,en général,une solution unique A.
    Donner une interprétation géométrique de A et des cas d'exception.
    Si U0=A,que peut on dire de la suite (Un)?

    3)On suppose que A existe et que U0 différent de A et l'on pose :
    Vn=Un-A,pour tout n appartenant N.
    Montrer que la suite (Vn) est géométrique.
    Montrer que (Un) est convergente ssi (Vn) est convergente.
    A quelles conditions sur a et b , (Vn) est elle convergente et quelles sont alors les limites de (Vn) et de (Un)?

    Merci de vôtre compréhension et de vôtre aide,
    Arconada!



  • Bonjour,
    Tu n'as peut-être pas commencé les suites en terminale, mais en première tu as appris un certain nombre de choses sur les suites.
    Ton prof souhaite sûrement vérifier ce que vous avez compris et mémorisé du programme de première.



  • Zorro a tout à fait raison : c'est un exercice de Première.

    Les questions 1 et 2 ne demandent pas beaucoup d'effort.

    La question 3 se fait en prouvant que
    Vn+1V_{n+1} = q foi/ VnV_n
    pour un certain q indépendant de n.
    C'est uniquement du calcul.



  • C'est un résultat tout-à-fait général sur les suites récurrentes de la forme
    Un+1U_{n+1} = a unu_n + b
    qui fait l'objet du problème déposé par Arconada.

    Il existe une unique solution de x = a x + b pour a diff/ 0.
    C'est (lambda) = b/(1 - a).

    La suite définie par
    vnv_n = unu_n - (lambda)
    est toujours géométrique de raison a.

    La suite (un(u_n) est convergente lorsque |a| < 1 et alors
    lim u n_n = (lambda).


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