Etude d'une fonction auxiliaire du 3ème degré

bonjour, j'ai du mal sur cet exo, j'aurais besion d'un petit coup de main merci.

f définie sur R par f(x)= (x^3-4)/(x²+1) et C sa courbe.

fonction auxiliaire: g(x)= x^3+3x+8
a)étudier le sens de variation de g sur R. montrer que l'équation g(x)=0 admet sur R une unique solution alpha dont on donnera un encadrement d'amplitude 0.1 .

b) préciser le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

2)a) calculer f'(x) et préciser le sens de variation de f.
b) étudie les limites de f en + infini et - infini puis dresser le tableau de variation.

3)a) montrer qu'il existe 4 réels a,b,c et d tels que:
f(x)=ax+b+(cx+d)/(x²+1).

b) en déduire que C admet une asymptote oblique delta, et étudier la position de C par rapport à alpha. Vérifier en particulier que C rencontre delta en un point unique A.

déterminer les abscisses des points B et B' de C admettant une tangente parallèle à delta.

5)a) vérifier que f(alpha)=3/2 alpha ; en déduire une valeur approchée de f(alpha).

b) tracer C et delta en plaçant A, B, B' ainsi que les points I, J, K d'abscisse respective 1, 2, -1 avec leurs tangentes

j'en suis à la question 2)a). j'ai trouvé f'(x)=(x^4+3x²+8x)/(x²+1)². est ce que c'est juste? si oui, comment je dosi faire pour déterminer le sens de variation de f ?
je dois dérivé encore?

salut
sil2b
j'en suis à la question 2)a). j'ai trouvé f'(x)=(x^4+3x²+8x)/(x²+1)². est ce que c'est juste? si oui, comment je dosi faire pour déterminer le sens de variation de f ?
je dois dérivé encore?
oui.
fais le lien avec la fonction auxiliaire (elle est là pour ça).
pas besoin de dériver encore.

à toi

comment je fais alors pour trouver les variations de f ? il faut que je trouve les solutions de f'(x) mais je fais comment pour la résoudre avec la puissance 4?

Bonjour,

Tu ne vois aucun lien entre ce que tu trouves pour f '(x) et la fonction g dont tu as étudié le signe à la première question ?

g(x) est 1 degré inférieur par rapport au numérateur de f'(x)

re.

tu vois bien que x^4+3x²+8x = x g(x) en factorisant par x.

or l'étude de la fonction auxiliaire a en particulier résolu la question du signe de g(x)... celui de f'(x) s'en déduit.

voilà

g(x)=x^3+3x+8

f'(x)=x^4+3x²+8x =xg(x)

ok. la ou j'ai un problème, c'est pour résoudre x^3+3x+8=0. j'ai du mal à résoudre les fonctions du 3ème degré. je dois faire comment pour trouver delta.

ah! g'(x) est positive sur -infini; +infini donc g croissante. numérateur de f'(x)=xg(x) donc x positif et g(x) aussi donc f'(x) est positive( son dénominateur est bien sur positif)

non : il faut se servir de alpha (dont l'existence est obtenue avec le th. des valeurs intermédiaires ; on n'en connaît qu'une valeur approchée).

f est toujours croissante sur -infini;+infini. elle s'annule pour x=alpha, celui qu'on a trouvé dans la question 1)a)?

ne confonds pas f, g et f'.
reprends tout ça tranquillement.

que représente alpha pour g ?
que représentent g et alpha vis-à-vis de f' ?
conclusion sur les variations de f (vis-à-vis de alpha) ?

alpha c'est la valeur qui annule la fonction g. g est tout le temps croissante? c'est bien ca

f'(x)=xg(x)/(x²+1)²=[x(x^3+3x+8)]/(x²+1)²

x(x^3+3x+8)=0 soit x=o et pour g(x) on a alpha.

donc f croissante sur ]-infini;alpha] décroissante sur [alpha;0] croissante sur [0;+infini[

j'ai un problème à la question 3)b) pour les positions de C et delta. le tableau que j'ai fait ne correspond pas avec le graph sur la calculette. peut être que j'ai fait une erreur dans les questions précédentes.

Que trouves tu comme équation pour Δ ?

équation delta: y=x+1

Ah , je trouves pas pareil ! Que trouves tu à la question 3a) ?

Tu peux aussi contrôler tes résultats sur ta calculatrice.

Tu rentres, dans ta calculatrice, la fonction f définie par f(x) = ...... l'expression donnée au départ.

Tu rentres, dans ta calculatrice, la fonction g définie par g(x) = ....... en remplaçant a et b , etc .... par ce que tu as trouvé.

Si les courbes et les tables de valeurs coïncident, alors tu as peu de chance d'avoir fait d'erreurs

Si les courbes et les tables de valeurs ne coïncident pas, alors tu as 100% de chance d'avoir des erreurs de calcul !

a=1 b=1 c=-1 d=-1

As tu vérifié comme je te l'ai dit ?

ça ne colle pas

est ce que tu trouves les memes coefficients que moi?

Si c que tu trouves était bon aurais tu cette différence entre les 2 fonctions Y1 et Y2 ?

Leur tables diffèrent de combien ? La représentation de l'une est obtenue à partir de l'autre par une translation de quel vecteur ? Cela ne te donnerait pas un indice sur le coefficient qui serait faux ?

je sais pas mais une chose que je ne comprend pas; delta est asymptote oblique a la courbe C, comment ces 2 courbes peuvent se couper en un point. et normalement soit C est toujours en dessous ou au dessus de delta???

Une asymptote peut bien être coupé par la courbe et c'est la cas ici !

La courbe s'approche de Δ au voisinage de + et - ∞ et elle ont un point commun.

a mais ellesne sont pas secantes. c'est impossible

mon tableau de variation pour f il est correcte? j'avais écrit les variations de f un peu plus bas

Oui tes variations de f sont exactes ....

Mais pour trouver ton erreur sur les a , b etc ... regarde de combien diffèrent les Tables de valeurs des fonctions Y1 et Y2 de ta calculatrice

je trace f(x)=(x^3-4)/(x²+1) et g(x)=x^3+3x+8 ?

pardon , j'ai repris g qui est utilisé ici .... Il aurait plus astucieux de te dire :

Tu rentres, dans ta calculatrice, la fonction f définie par f(x) = ...... l'expression donnée au départ.

Tu rentres, dans ta calculatrice, la fonction h définie par h(x) = ....... en remplaçant a et b , etc .... par ce que tu as trouvé.

Si les courbes et les tables de valeurs coïncident, alors tu as peu de chance d'avoir fait d'erreurs

Si les courbes et les tables de valeurs ne coïncident pas, alors tu as 100% de chance d'avoir des erreurs de calcul !

en effet elle ne se superpose pas

elles diffèrent de combien ?

de 1, f(x) étant en dessous de f(x) avec les coefficients remplacés

Donc f(x) = h(x) + ou - 1 ... donc dans h(x) c'est quoi qui coince ?

c'est le coefficient a

c'est vrai que des ""1"" tu en trouves 4 , alors tu as une chance sur 4 de trouver le bon coeff qui décoiffe !

Alors c'est pas le a .... raté pour le premier essai , vous avez donc droit au 2ème essai .... vous allez me dire que c'est b qui n'est pas le bon .... Et vous aurez gagné .....

f(x) = h(x) + 1 .... donc h(x) = .... - 1 et c'est lequel des coeff qui est tout seul sans fraction ..... sans x .....

le coefficient b est seul, le d aussi

Bin vérifie avec b = 0 et d = 0 ..... si ça marche !

Mais j'ai toujours dit , un des coefficients est faux ......

ca ne marche pas. pour trouver les coeff on doit faire comme ca normalement?

f(x)=ax+b+(cx+d)/(x²+1)
=(ax+b)(x²+1)+cx+d/...
=ax^3+ax+bx²+b+cx+d
=ax^3+bx²+x(a+c)+(b+d)

d'après f(x)=(x^3-4)/(x²+1)
a=1
b=1

a+c=0
1+c=0
c=-1

b+d=0
1+d=0
d=-1

donc f(x)=x+1-(x-1)/(x²+1) mais apparement c'est faux.

oui , on doit avoir pour tout réel x

ax^3+bx²+x(a+c)+(b+d) = x^3-4

donc les coeff de x^3 sont égaux ; donc a = 1 .... jusque là tout va bien !

donc les coeff de x² sont égaux .... et là tout va mal ! ; donc b = ?????

a ok, donc:

a=1

b=0

a+c=0
c=-1

b+d=-4
d=-4

=> f(x)=x+(-x-4)/(x²+1)