Etude complète d'une fonction logarithme népérien

Bonjour, voici mon devoir, je n'y arrive pas du tout..

[Dans la partie A que j'ai faite, g(x) = 1 - (2/x) - lnx]

"Le but de ce problème est la représentation graphique de la fonction f définie dans ]2 ; +∞[ par f(x) = x - 3 - lnx/(x-2) dans le plan P muni d'un repère orthonormal (O, i, j) d'unité graphique 2 cm."

Calculer la limite de f pour la valeur 2. Quelle est la conséquence graphique ?
a) Montrer que la limite (quand x tend vers +∞) de lnx/(x-2) = 0.
En déduire la limite de f en +∞.

b) Montrer que la droite D d'équation y = x-3 est asymptote à C.
Montrer que C est située au dessous de D.

Calculer f'(x), où f' désigne la fonction dérivé de f. Vérifier que f'(x) = 1 - g(x)/(x-2)². En déduire le signe de f'(x) puis le tableau de variation de f.
Dans le plan P, construire D, puis en tenant compte des résultats obtenus dans les questions précédentes, construire C.
a) On constate graphiquement que l'équation f(x) = 0 admet, dans l'intervalle ]3;4[, une solution unique, α. Justifier rigoureusement ce résultat.

b) Déterminer un encadrement de α d'amplitude 10puissance-2. Justifier.

Merci par avance de votre aide..

Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.

Tout le devoir me pose problème

Donc commence par le calcul de la limite
Si x = 2,
x- 3 = .....
ln x = ....
x-2 = .....
1/(x-2) = ....

A compléter

x= 2
x-3= -1
lnx= ln2
x-2 = 0
1/(x-2) = C'est impossible la...

Si x tend vers 2+, 1/(x-2) tend vers +∞
Donc la limite tend vers -1 - ln2×(+∞) soit -∞

Et si la limite quand x tend vers 2 de f(x) est -∞, on peut dire que la droite x = 2 est ......

asymptote ?

Oui asymptote verticale.

Passe à la question 2.
Quelle est la limite de lnx / x quand x tend vers +∞ ?

C'est 0

Donc la limite de lnx/(x-2) = .... quand x tend vers + ∞
Et la limite de x-3 = .... quand x tend vers + ∞
Donc la limite de f est ....

b) Calcule la limite de f(x) -(x-3) quand x tend vers + ∞

Donc la limite de lnx/(x-2) = 0 quand x tend vers + ∞
Et la limite de x-3 = + ∞ quand x tend vers + ∞
Donc la limite de f est + ∞

C'est ça ?

b) On a dit que la limite de f(x) = + ∞
La limite de (x-3) = + ∞

Donc (+ ∞) - (+ ∞) = 0

La limite de f(x) - (x-3) = 0

C'est bon ?

le début est juste;

on ne peut pas écrire : Donc (+ ∞) - (+ ∞) = 0

f(x) - (x-3) = -lnx/(x-2)
tu calcules la limite en +∞ de -lnx/(x-2)

Donc f(x) - (x-3) = -lnx/(x-2)

Lnx/x quand x tend vers +∞ = 0

donc la limite de -lnx/x = -∞

donc la limite de f(x) - (x-3) = -∞

syana93
Donc f(x) - (x-3) = -lnx/(x-2)

Lnx/x quand x tend vers +∞ = 0

donc la limite de -lnx/x = -∞

donc la limite de f(x) - (x-3) = -∞

Pourquoi -∞ ?
0 × (-1) = ....

La limite de f(x) - (x-3) = 0

Mais je ne comprend pas pourquoi ?

Tu as montré que lim lnx/(x-2) = 0 quand x tend vers +∞
et -lnx/(x-2) = (-1)(lnx/(x-2))
donc lim -lnx/(x-2) = -1*0 = 0

Ha ok c'est bon j'ai compris

La limite étant 0-, donc la droite d'équation y = x-3 est .....

Elle est asymptote oblique et elle est au dessus de la courbe

Exact

Tu as calculé la dérivée pour la question 3 ?

Euh je crois que tout est faux :

f(x) = x-3 - (lnx)/(x-2)

Dérivée de (x-3) = 1

Dérivée de lnx = 1/x

Dérivée de (x-2) = 1

Donc f'(x) = 1 - (1/x)/1

Soit f'(x) = 1 - (1/x)

Le début est juste, pour x-3 la dérivée est égale à 1,
mais pour lnx/(x-2) Utilise la dérivée de U/V.

Je sais pas comment on l'utilise

Tu poses U = -lnx et V = x-2
U' =
V' =
(U'V-UV')/V²=

U' = (1/x)
V' = 1

(u'v - v'u) / v² = [(1/x)(x-2) - 1(-lnx)] / (x-2)²

= [(x-2)/x + (lnx)] / (x-2)²

Donc f'(x) = [(x-2)/x + (lnx)] / (x-2)²

U' = -1/x
et pour f'(x) ne pas oublier la dérivée de x-3, soit 1.

rectifie ton calcul.

Ha oui donc
(u'v - v'u) / v² = [(-1/x)(x-2) - 1(-lnx)] / (x-2)²

= [(-x+2)/x + (lnx)] / (x-2)²

f'(x) = [ 1 + (x+2)/x + lnx] / (x-2)²

Attention, tu as oublié le - devant le x+2

Poursuis la question 3)

Quel moins ?

f'(x) = 1 +[ (
-x+2)/x + lnx] / (x-2)²

Mais non puisque le résultat de

(u'v - v'u) / v² = [(-x+2)/x + (lnx)] / (x-2)²

Je rajoute la dérivée de x - 3 qui est 1

Donc ça fait 1 - [(-x+2)/x + (lnx)] / (x-2)²

-et - ça fait + donc

[1 +(x +2)/x + (lnx)] / (x-2)²

A moins que je me trompe ?

Oui : -et - ça fait +
mais dans ce cas, il faudrait changer tous les signes à l'intérieur des crochets.

Il n'y a pas de - au départ car j'ai choisi U = -lnx
Donc la dérivée est : f'(x) = [ 1 + (-x+2)/x + lnx] / (x-2)²
Vérifie que f'(x) = 1 - g(x)/(x-2)²
Tu remplaces g(x) par son expression pour retrouver f'(x).

Jcomprend plus rien avec les signes, ca devrait pas etre
f'(x) = 1 - [(-x+2)/x + lnx / (x-2)²] ?

Non
f(x) = x-3 - lnx/(x-2)
= x-3+(-lnx/(x-2)
Et j'ai posé U = -lnx et V = x-2
Donc f'(x) = 1 + .....

Si tu avais pris
f(x) = x-3 - lnx/(x-2)
avec U = lnx et V= x-2;
alors, il faudrait écrire f'(x) = 1 - .....

Ha c'est bon j'ai compris.

Donc je remplace g(x)

Ca fait donc :

f'(x) = 1 - [1 - (2/x) - lnx] / [x - 2]²

Mais c'est pas le même résultat .. ?

Ecris sous la forme
f'(x) = 1 + [....]

Ca fait [2 + (2/x) + lnx] / (x-2)²

Une erreur de signe, d'ou vient le 2 au début ?