Démontrer une inégalité en utilisant les formules de trigonométrie

J'ai (Un)=cos(n)
U2n=2(Un)²-1 et Un+Un+2=2cos(1)Un+1
Et on me demande de justifier l'inégalité suivante : √2/2<cos(1)<√3/2
Et je n'y arrive pas

*** Titre modifié car non conforme***

Bonjour,
Déjà répondu : utilise les formules de trigo :
cos p + cos q = ?

L’inégalité est racine de 2 sur 2 < cos 1 < racine 3 sur 2

Je n'arrive pas a le justifier cette inégalité

Quand tu écris cos 1 : c'est 1 radian ?
Si oui, l'inégalité est fausse : vérifie l'énoncé.

C'est cos (1) donc c'est faux

A moins qu'il s'agisse de √2/3 et pas de √2/2 ?
Donne l'énoncé complet et précis.

Exercice: A l'aide d'Exel , contruire les 300 premiers points de la suite (Un)=cos(n).
La suite semble-t-elle convergente?
Justifier les égalités suivantes : U2n=2(Un)²-1 Et Un+Un+2=2cos(1)Un+1
Justifier l'inégalité suivante : racine de 2 sur 2 < cos(1) < racine de 3 sur 2
Montrer par l'absurde que (Un) diverge

Donne-moi les valeurs approchées de U1 à U5, afin de vérifier.

U1 = 0.54
U5= 0.28

U2 = - 0.42
U3 = - 0. 99
U4 = - 0.65

N'écris pas "=" pour des valeurs approchées, mais "≈"
Tu as U1 = cos 1 ≈ 0.54
Or, √2/2 ≈ 0.7 et √3/2 ≈0.87
Tu vois bien que cos 1 n'est pas compris entre les deux.
Vérifie ces valeurs √2/2 et √3/2 dans ton énoncé.

C'est sa, ba je verrai avec mon prof lundi Merciii beaucoup quand meme
Vous pouvez me dire aussi comment on montre qu'Un diverge par l'absurde ?

Si Un converge vers L , alors L vérifie: L + L = 2L.cos 1
d'où cos 1 = 1 : ce qui est faux.

A c'est rapide
Mais pourquoi on fait L + L = 2L cos(1)
Pourquoi faire ce calcul ?

On part de $U_n$ + $U_{n+2}$ = $2U_{n+1}$ . cos 1
Si $U_n$ admet la limite L, cette limite vérifie la même égalité.

Et désolé
Mais pkoi cos(1)=1 ? c'est pas cos(1) = 0 ?
On fait sa en fait : 1 = (2Lcos(1) / 2L

mathtous
Si Un converge vers L , alors L vérifie: L + L = 2L.cos 1
d'où cos 1 = 1 : ce qui est faux.
à conditon de justifier que L≠0 !!!

de plus cette égalité n'est pas la bonne...
L vérifie L+L=2L.cos(1)+1
donc L = 1/(2-2cos(1))
en déduire avec l'encadrement sur cos(1) que L>1+√2/2
ce qui est en contradiction avec le fait que pour tout entier n : Un≤1

Ce n'est pas cos 1 = 0 mais cos 0 = 1
Citation
On part de Un + Un+2 = 2Un+1. cos 1
Si Un admet la limite L, cette limite vérifie la même égalité.
On raisonne par l'absurde : si cela était vrai on aurait
L + L = 2L cos 1
d'où 2L = 2L cos 1
d'où cos 1 = 1 ce qui est faux ( on a vu que cos 1 ≈ 0.54 )
Donc l'hypothèse que Un converge est fausse : Un diverge.

A c'est bon j'ai compriii mercii beaucoup

De rien
A+

mathtous
Ce n'est pas cos 1 = 0 mais cos 0 = 1
Citation
On part de Un + Un+2 = 2Un+1. cos 1
Si Un admet la limite L, cette limite vérifie la même égalité.
On raisonne par l'absurde : si cela était vrai on aurait
L + L = 2L cos 1
d'où 2L = 2L cos 1
d'où cos 1 = 1 ce qui est faux ( on a vu que cos 1 ≈ 0.54 )
Donc l'hypothèse que Un converge est fausse : Un diverge.

pour écrire que 2L=2Lcos 1
implique cos1 = 1, il faut justifier au préalable que L≠0 !!!

en plus cette égalité est fausse...

Exact pour la vérification de L ≠ 0 : on peut utiliser U2n=2(Un)²-1
Mais
Citation
en plus cette égalité est fausse...Heureusement : on raisonne par l'absurde ...

mathtous
Exact pour la vérification de L ≠ 0 : on peut utiliser U2n=2(Un)²-1
Mais
Citation
en plus cette égalité est fausse...Heureusement : on raisonne par l'absurde ...

je disais fausse au sens où j'avais cru à une autre égalité...

Quelle autre égalité ?

mathtous
Quelle autre égalité ?

L vérifie L+L=2L.cos(1)+1
une erreur de ma part à cause de l'écrire "pourrie" des expressions

Bah , on écrit comme on peut. C'est bien plus beau en Latex, mais aussi bien plus long.

mathtous
Bah , on écrit comme on peut. C'est bien plus beau en Latex, mais aussi bien plus long.

je sais je sais ...

pour l'inégalité j'aurais opté pour 1/2 < cos(1) < √2/2
(à cause de pi/4 < 1 < pi/3 et cos décroissante sur [pi/4;pi/3] )

d'où la contradiction avec cos(1)=1
(après avoir justifié que L=1 ou L=-1/2 )

Je ne comprends pas bien :
pi/4 < 1 < pi/2 donc 0 < cos(1) < √2/2 ?
D'où viendraient 1/2 et √3/2 ?

Citation
(après avoir justifié que L=1 ou L=1/2 )Là non plus.
L'équation en L admet pour racines 1 et -1/2 ?

Mais quand vous dites L = 1/2 ... Ce n'est pas utile pour démontrer que le suite est divergente

Non : je répondais à Bertoche.

Ce que tu dois faire c'est démontrer que L ≠ 0 afin de pouvoir simplifier par L dans l'égalité L+L = 2L cos(1)

j'ai réctifié mes petites erreurs...

sinon il faut bien comprendre que la suite est divergente au sens où elle n'a pas de limite...

Citation
pour l'inégalité j'aurais opté pour 1/2 < cos(1) < √3/2
(à cause de pi/4 < 1 < pi/3 et cos décroissante sur [pi/4;pi/3] )Pourtant, cos(pi/4) = √2/2

j'ai re-rectifié !!!

tu fais exprès de ne pas comprendre ou quoi ?
L'intérêt de l'inégalité pour cos(1) est de ne pas utiliser la calculatrice

Un peu : je voulais juste montrer que je ne suis pas le seul à commettre des erreurs.
Merci de m'avoir signalé la mienne.

mathtous
Un peu : je voulais juste montrer que je ne suis pas le seul à commettre des erreurs.
Merci de m'avoir signalé la mienne.

Mouais il faudrait juste ne pas confondre des erreurs d'écriture avec des erreurs de raisonnement...

Sévère !
Il aurait pu s'agir d'un oubli.
Mais puisque tu es calé en raisonnement, que penses-tu de celui-ci tiré du sujet : http://www.mathforu.com/sujet-11825.html :
Citation
L'ensemble vide a tous ses éléments égaux n'est pas plus absurde que de dire que l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble.?

Exercice:
A l'aide d'Excel , contruire les 300 premiers points de la suite $U_n$ ) définie par $U_n$ =cos(n).
1°) La suite semble-t-elle convergente ?
2°) Justifier les égalités suivantes : $U$ _{2n} $= 2 U$ n $^2$ -1 et $U$ n $+ U$ {n+2} $2cos(1)U</em>{n+1}$
3°) Justifier l'inégalité suivante : 1/2 < cos(1) < √2/2
4°) Montrer par l'absurde que $U_n$ ) diverge.

Pour résumer :
1°) La suite $U_n$ ) ne semble pas convergente. (au sens où elle ne semble pas avoir de limite)
2°) A l'aide des formules trigo
3°) A l'aide de pi/4 < 1 < pi/3 et cos décroissante sur [pi/4;pi/3]
4°) On suppose que $U_n$ ) converge vers une valeur L
L vérifie les égalités suivantes : $L=2L^2$ -1 et 2L=2L.cos(1)
En déduire que L=1 ou L=-1/2 donc cos(1)=1
Aburde car cos(1)<√2/2<1
Donc la suite $U_n$ ) diverge.

Mais en fait on calcule les L pour montrer qu'ils sont différents de 0 c'est sa ?

oui grace à la première égalité équivalente à $2L^2$ -L-1=0
sinon on n'est pas certain de pouvoir simplifier la seconde égalité et obtenir cos(1)=1