Démontrer une propriété sur quotient entier et carré

Bonjour,
Je doit démontré que si le quotient (a²+b²)/(1+ab) est entier, alors c'est le carré d'un entier.
a et b sont des entiers naturel

Démontré que tout couple de la forme (a,0) répond à la questin : j'ai réussi
Démontré que si a=b, alors a=0 ou a=1.
Je vois bien que (0,0) et (1,1) marches, mais je ne vois pas comment démontré.
Merci de m'aider

salut

l'énoncé dit : si a=b, alors a=0 ou a=1

tu dois donc faire comme si a était égal à b : dans (a²+b²)/(1+ab) tu remplaces par exemple a par b et tu vois ce que ça donne.

ca donne 2a²/(1+a²) mais pourquoi a=0 ou a=1 ?

2a²/(1+a²)=(2a²+2-2)/(1+a²)=2-2/(1+a²)

pour que ce nombre soit le carré d'un entier, il faut nécessairement que 2/(1+a²)=2 ou 2/(1+a²)=1
...
donc a=0 ou a=1

Ah oui, c'est simple.
La question suivante est
3) On suppose que a>b>0 et que (a²+b²)/(1+a²) est entier
a) Démontré qu'il existe un entier n tel que $b^3$ =a+n(1+ab)
b) Démontreé que 0 ≤ n < b

pourrais-tu écrire l'énoncé complet de cet exercice ???

a et b sont deux entiers naturels.
Le but est de démontrer que si (a²+b²)/(1+ab) est entier, alors c'est le carré d'un entier.
On appellera solution tout couple (a,b) pour lequel (a²+b²)/(1+ab) est entier
1)Démontrer que tout couple de la forme (a,0) répond à la question
2) Démontrer que si a=b alors a=0 ou a=1
3) On suppose déssormais que a>b>0
a) Démontrer qu'il existe un entier n tel que $b^3$ = a+n(1+ab)
b) Démontrer que 0 ≤ n < b
4) Démontrer que si (a,b) est une solution telle que a>b >0 alors (b,n) est aussi une solution.
Que peut-on dire du quotient (b²+n²)/(1+bn) ?
5) En déduire qu'a partir d'une solution (a,b) tel que a>b>0 on peut trouver une solution de la forme (x,0) fournissant le même quotient.
6) Conclure
7) Application : trouver une solution avec a>5000 et (a²+b²)/(1+ab) = 4

Bonjour,
Pour la question 3a), tu peux utiliser les congruences modulo 1+ab

a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab ?
Donc $a$ ^3 $b^3$ ≡ 0 modulo 1+ab ?

zora93
a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab ?
Donc $a$ ^3 $b^3$ ≡ 0 modulo 1+ab ?
non sûrement pas !
si tu connais la notation ≡, l'exercice est certes plus agréable et facile à rédiger mais avant il faudrait revoir les règles de calculs et ce que cette notation ≡ veut dire...

Oui, $a$ ^3 $b^3$ n'est pas ≡ 0 : je l'ai vérifiée avec le couple (8,2).
Mais pour (8,2) on a bien 8²+2²=68 ≡0 modulo 1+8×2 =17
Si a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab, comment passé à $b^3$ ?

en multipliant a²+b² par ...
ensuite il faut isoler b³
et réfléchir sur -a²b modulo 1+ab

b² ≡ -a² modulo 1+ab
donc $b^3$ ≡ -a²b
Mais il faudrait trouvé a et pas -a²b

justement réfléchir sur -a²b modulo 1+ab devrait t'apporter la réponse !

-a²b ≡ a
a²b ≡ -a
ab ≡ -1
ab+1 ≡ 0
c'est vrai car c'est modulo 1+ab
Donc $b^3$ ≡ a modulo 1+ab
sa veut dire que la différence est multiple de 1+ab
$b^3$ -a = n(1+ab)
donc $b^3$ = a+n(1+ab)

écrit dans ce sens n'est pas correct car on ne peut pas diviser par a comme avec simple égalité !
de plus commencer ton raisonnement en admettant l'égalité finale -a²b ≡ a modulo 1+ab quoique tu écrives ensuite ne peut te faire aboutir qu'à dire -a²b ≡ a modulo 1+ab !
(sauf dans le cas d'un raisonnement par l'absurde où en effet on suppose avoir le contraire de la conclusion pour écrire une contradiction par la suite)

ab+1 ≡ 0 modulo 1+ab
ab ≡ -1
a²b ≡ -a
-a²b ≡ a
Mais on a vu $b^3$ ≡ -a²b ( c'etait bon sa ? )
donc $b^3$ ≡ a
donc $b^3$ = a +n(1+ab)

voilà qui est mieux !
Ne pas oublier les modulo à chaque ligne
(sinon quand on divise on écrit des bêtises du genre 2x≡4modulo6 donne x≡2modulo6 au lieu de x≡2modulo
3)

tu peux écrire ( après b³ ≡ -a²b modulo 1+ab )
or ab+1 ≡ 0 modulo 1+ab
donc ab ≡ -1 modulo 1+ab
En multipliant par a≠0, a²b ≡ -a modulo 1+ab

On en déduit que b³ ≡ a modulo 1+ab

Citation
En multipliant par a≠0, a²b ≡ -a modulo 1+abPourquoi il faut précisé que a≠0 ? C'est pas seulement quand on divise ?

en multipliant par a, ...

Mais si ab ≡ -1 modulo 1+ab, en multipliant par a on trouves a²b≡-a modulo 1+ab,
mêmesi a=0 ? ( 0≡0)

Pardon d'intervenir, mais je crois que sur ce point zora93 a raison :
le raisonnement est du type si ... alors et non pas par équivalences.
Qu'importe alors que a soit nul ou non.

exact...
Mathtous tu connais le site que j'ai mis en signature ?

Mais pour la 3b ?
n est un entier relatif, il n'est pas forcément ≥0

au départ oui
...
à la fin c'est un entier relatif compris entre 0 et b

$b^3$ =a+n(1+ab)
Pour avoir n≥0 il faudrait que $b^3$ ≥ a
Sur l'exemple(8,2), on a $b^3$ =a

Plus personne ?

Calcule n à partir de $b^3$ = a+n(1+ab)
Puis, considère la fonction g définie sur [0;+∞[ par
g(x) = $b^3$ -x)/(1+bx)

Je trouve n = $b^3$ -a)/(1+ab)
Mais quel rapport avec g(x) ?

Que vaut g(a) ?

Ah oui c'est n
Mais aprés ?

Etudie les variations de g sur [0;+∞[

Je trouve que la dérivée est négative
donc g est décroissante.

Oui.
Tu as vu que g(a) = n
Que vaut $g(b^3$ ) ?
Quelle est la limite de g(x) quand x tend vers +∞ ?

$g(b^3$ ) = 0
g(x) → -1/b
x → +∞

Oui.
On veut n ≥ 0, donc $b^3$ ≥ a
Raisonne par l'absurde : que se passerait-il si on avait $b^3$ < a ?

n serait négatif ?

Evidemment ! mais cela n'apporte rien.
Suppose que $b^3$ < a
Place les valeurs $b^3$ et a dans ton tableau de variations
Qu'observes-tu ?

J'ai
x.........0.......... $b^3$ ..........a..........+∞
g(x).. . $b^3$ .........0...... ....n......... -1/b
avec la flèche qui descent

Tu ne vois pas que cela est impossible ?