Quotient entier et carré



  • Bonjour,
    Je doit démontré que si le quotient (a²+b²)/(1+ab) est entier, alors c'est le carré d'un entier.
    a et b sont des entiers naturel

    1. Démontré que tout couple de la forme (a,0) répond à la questin : j'ai réussi
    2. Démontré que si a=b, alors a=0 ou a=1.
      Je vois bien que (0,0) et (1,1) marches, mais je ne vois pas comment démontré.
      Merci de m'aider


  • salut

    l'énoncé dit : si a=b, alors a=0 ou a=1

    tu dois donc faire comme si a était égal à b : dans (a²+b²)/(1+ab) tu remplaces par exemple a par b et tu vois ce que ça donne.



  • ca donne 2a²/(1+a²) mais pourquoi a=0 ou a=1 ?



  • 2a²/(1+a²)=(2a²+2-2)/(1+a²)=2-2/(1+a²)

    pour que ce nombre soit le carré d'un entier, il faut nécessairement que 2/(1+a²)=2 ou 2/(1+a²)=1
    ...
    donc a=0 ou a=1



  • Ah oui, c'est simple.
    La question suivante est

    1. On suppose que a>b>0 et que (a²+b²)/(1+a²) est entier
      a) Démontré qu'il existe un entier n tel que b3b^3=a+n(1+ab)
      b) Démontreé que 0 ≤ n < b


  • pourrais-tu écrire l'énoncé complet de cet exercice ???



  • a et b sont deux entiers naturels.
    Le but est de démontrer que si (a²+b²)/(1+ab) est entier, alors c'est le carré d'un entier.
    On appellera solution tout couple (a,b) pour lequel (a²+b²)/(1+ab) est entier
    1)Démontrer que tout couple de la forme (a,0) répond à la question

    1. Démontrer que si a=b alors a=0 ou a=1
    2. On suppose déssormais que a>b>0
      a) Démontrer qu'il existe un entier n tel que b3b^3 = a+n(1+ab)
      b) Démontrer que 0 ≤ n < b
    3. Démontrer que si (a,b) est une solution telle que a>b >0 alors (b,n) est aussi une solution.
      Que peut-on dire du quotient (b²+n²)/(1+bn) ?
    4. En déduire qu'a partir d'une solution (a,b) tel que a>b>0 on peut trouver une solution de la forme (x,0) fournissant le même quotient.
    5. Conclure
    6. Application : trouver une solution avec a>5000 et (a²+b²)/(1+ab) = 4


  • Bonjour,
    Pour la question 3a), tu peux utiliser les congruences modulo 1+ab



  • a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab ?
    Donc aa^3+b3+b^3≡ 0 modulo 1+ab ?



  • zora93
    a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab ?
    Donc aa^3+b3+b^3≡ 0 modulo 1+ab ?
    non sûrement pas !
    si tu connais la notation ≡, l'exercice est certes plus agréable et facile à rédiger mais avant il faudrait revoir les règles de calculs et ce que cette notation ≡ veut dire...



  • Oui, aa^3+b3+b^3 n'est pas ≡ 0 : je l'ai vérifiée avec le couple (8,2).
    Mais pour (8,2) on a bien 8²+2²=68 ≡0 modulo 1+8×2 =17
    Si a²+b² ≡ 0 modulo 1+ab, comment passé à b3b^3 ?



  • en multipliant a²+b² par ...
    ensuite il faut isoler b³
    et réfléchir sur -a²b modulo 1+ab



  • b² ≡ -a² modulo 1+ab
    donc b3b^3 ≡ -a²b
    Mais il faudrait trouvé a et pas -a²b



  • justement réfléchir sur -a²b modulo 1+ab devrait t'apporter la réponse !



  • -a²b ≡ a
    a²b ≡ -a
    ab ≡ -1
    ab+1 ≡ 0
    c'est vrai car c'est modulo 1+ab
    Donc b3b^3 ≡ a modulo 1+ab
    sa veut dire que la différence est multiple de 1+ab
    b3b^3-a = n(1+ab)
    donc b3b^3 = a+n(1+ab)



  • écrit dans ce sens n'est pas correct car on ne peut pas diviser par a comme avec simple égalité !
    de plus commencer ton raisonnement en admettant l'égalité finale -a²b ≡ a modulo 1+ab quoique tu écrives ensuite ne peut te faire aboutir qu'à dire -a²b ≡ a modulo 1+ab !
    (sauf dans le cas d'un raisonnement par l'absurde où en effet on suppose avoir le contraire de la conclusion pour écrire une contradiction par la suite)



  • ab+1 ≡ 0 modulo 1+ab
    ab ≡ -1
    a²b ≡ -a
    -a²b ≡ a
    Mais on a vu b3b^3 ≡ -a²b ( c'etait bon sa ? )
    donc b3b^3 ≡ a
    donc b3b^3 = a +n(1+ab)



  • voilà qui est mieux !
    Ne pas oublier les modulo à chaque ligne
    (sinon quand on divise on écrit des bêtises du genre 2x≡4modulo6 donne x≡2modulo6 au lieu de x≡2modulo

    tu peux écrire ( après b³ ≡ -a²b modulo 1+ab )
    or ab+1 ≡ 0 modulo 1+ab
    donc ab ≡ -1 modulo 1+ab
    En multipliant par a≠0, a²b ≡ -a modulo 1+ab

    On en déduit que b³ ≡ a modulo 1+ab



  • Citation
    En multipliant par a≠0, a²b ≡ -a modulo 1+abPourquoi il faut précisé que a≠0 ? C'est pas seulement quand on divise ?



  • en multipliant par a, ...



  • Mais si ab ≡ -1 modulo 1+ab, en multipliant par a on trouves a²b≡-a modulo 1+ab,
    mêmesi a=0 ? ( 0≡0)



  • Pardon d'intervenir, mais je crois que sur ce point zora93 a raison :
    le raisonnement est du type si ... alors et non pas par équivalences.
    Qu'importe alors que a soit nul ou non.



  • exact...
    Mathtous tu connais le site que j'ai mis en signature ?



  • Mais pour la 3b ?
    n est un entier relatif, il n'est pas forcément ≥0



  • au départ oui
    ...
    à la fin c'est un entier relatif compris entre 0 et b



  • b3b^3=a+n(1+ab)
    Pour avoir n≥0 il faudrait que b3b^3 ≥ a
    Sur l'exemple(8,2), on a b3b^3 =a



  • Plus personne ?



  • Calcule n à partir de b3b^3 = a+n(1+ab)
    Puis, considère la fonction g définie sur [0;+∞[ par
    g(x) = (b3(b^3-x)/(1+bx)



  • Je trouve n = (b3(b^3-a)/(1+ab)
    Mais quel rapport avec g(x) ?



  • Que vaut g(a) ?


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