Exercice sur les complexes ...

Bonjour à tous ! J'ai un Dm de maths a faire pendant les vacances et je dois dire que je n'y arrive pas ... J'ai déjà quelles réponses et j'espère que vous pourrez m'éclairer d'avantage

Voilà le sujet:

On note P(z)=z²-(1+3i)z+4+4i où "z" représente un complexe quelconque.
a) Montrez que l'équation, P(z)=0, admet une solution imaginaire pure que l'on déterminera. (on pourra la chercher sous la forme z=ib où "b" est un réel)

b) Déterminer le complexe "u" tel que P(z)=(z-4i)(z-u). Achever alors la résolution de l'équation P(z)=0. Donner la forme exponentielle des solutions.

On considère les points A,B et C d'affixes respectives a=4i, b=1-i et c= -5+3i
a) Placer les points sur le dessin

b) Déterminer la forme algébrique du complexe q=(b-a)/(c-a). En interprétant géométriquement, décrire la nature du triangle ABC

A tout point M diffèrent de A et d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=(z-1+i)/(z-4i)

c) Déterminer géométriquement l'ensemble (E) des points M pour lesquels z' est réel et l'ensemble (F) des points M pour lesquels arg(z')=/2 +2k . On les représentera

d) On pose z= x+iy. Déterminer la forme algébrique de z'. Retrouver par calculs les ensembles (E) et (F)

Et voilà mes quelques résultats ...

1a) Pour cette question je remplace donc z par ib, je trouve donc (-b²+3b+4)+i(4-b)=0 donc b=0 mais après j'en fait quoi?
b) J'ai développé et j'arrive à z²-z(4i-u)-4iu mais je ne peut pas identifier avec l'eaqution donné ...

2a) Je les ai placé sans aucun problème
b)Pour la forme algébrique je trouve -i et en interprétant je déduis que ABC est un triangle rectangle en A car q= un imaginaire pur.

c) Pour l'ensemble E je trouve que AM et BM sont colinéaires et pour l'ensemble F je trouve qu'il s'agit du cercle de diamètre [AB]. Pour cette question j'ai un problème car en question 2 il nous donne b=1-i et dans le quotient c'est 1+i donc soit il y a une faute dans l'énoncé soit il y a une façon de le faire autre que ce que j'ai fait.

d) Je trouve ici (x-1)+(iy+i)-x-(-4i+iy)=0 mais je ne vois pas comment faire le suite,je ne dois pas utilisé le bon raisonnement mais je n'en vois pas d'autres ...

Voilà, j'espère que vous pourrez m'aider, merci d'avance

salut
Citation
1a) Pour cette question je remplace donc z par ib, je trouve donc (-b²+3b+4)+i(4-b)=0 donc b=0 mais après j'en faiS quoi?
attention : c'est b = 4.
tu as donc trouvé ta solution "imaginaire" pure z = 4i.

la question suivante te demande de factoriser z²-(1+3i)z+4+4i par (z-4)
le développement de (z-4i)(z-u) est z²-uz-4iz+4iu soit z²-(4i**+**u)z+4iu.

Merci donc z=4i ou z=1-i ?

2b) je trouve plutot i, je peux donc dire qu'il est rectangle, sachant sur le dessin qu'il est aussi isocèle est que je peux le démontrer seulement avec mon resultat ou je doit faire un autre calcul avec les modules?

2c) Est que les ensembles sont bon ?

2d) j'ai remplacé z par x+iy ensuite j'ai multiplié par le conjugué de dénominateur mais je n'arrive pas a simplifier ...
Je trouve : x(x-1)+i[(y+1)(y-4)]/ x²+(y-4)² dékà est que cela est correcte?

Merci de votre aide

Bibi014