Etude d'une fonction avec logarithme

[maya1011]

Bonjour à tous, j'ai un DM de maths sur le chapitre du logarithme qui est plutôt dur.
Alors voici le problème:

PARTIE A: On considère la fonction g définie sur ]0;+∞[ par : g(x)=x² + 2 -2lnx

1. montrer que g'(x)=[2(x²-1)] / x et étudier le signe de g'(x) sur ]0;+∞[ puis faire le tableau de variation de g
2. en déduire que g(x)<0 sur ]0;+∞[

PARTIE B: On considère la fonction f définie sur ]0;+∞[ par : f(x)=x - 1 + 2 lnx/x
C est sa courbe représentative dans un repère orthonormal

1. Montrer que f'(x)=g(x)/x² puis étudier le signe de f'(x)
2. Déterminer lim x→0 f(x) et interpréter graphiquement le résultat obtenu
3. Déterminer lim x→+∞ f(x)
4. Faire le tableau de variation de f
5. Montrer que la droite (D) d'équation y=x-1 est une asymptote oblique à C
   Etudier la position de C par rapport à (D)

Pour la partie A, j'ai trouvé :

1. g'(x)=[2(x²-1)] / x
   sur ]0;+∞[ : 2(x²-1)>0 et x>0
   Donc g'(x)>0 sur ]0;+∞[
2. Comme g'(x)>0 sur ]0;+∞[ on en déduit que g(x)>0 sur ]0;+∞[

Pour la partie B:

1. Je n'arrive pas à trouver la dérivée de f'(x)

2. lim x→0 (x-1) = 0
   lim x→0 (2 lnx/x) = 0
   Donc lim x→0 f(x) = 0
   Mais je ne suis vraiment pas sur

Et le reste je bloque totalement
Pourriez-vous m'aider et me dire si mes calculs sont bons svp
Merci d'avance

[Zorro]

Bonjour,

g'(x)=[2(x²-1)] / x mais pour x = 0,1 tu crois vraiment que x²-1 est positif !

Tu ne pourrais pas factoriser x²-1 , pour en étudier plus facilement le signe ?

[Noemi]

Bonjour,

Partie A :
Pour le signe de g'(x), il faut factoriser g'(x) soit x²-1 = ....
faire ensuite le tableau de variation.

Partie B
Pour la dérivée de lnx/ x utilise la forme U/V
Quelle est la limite de lnx/x quand x tend vers 0+ ?

[maya1011]

Alors x²-1=(x+1)(x-1)
Mais c'est pareil sur ]0;+∞[ c'est positif
?

[Noemi]

si x = 0,5 ; 0,8 ?

[maya1011]

Oui donc x-1>0 si x>1
Donc g'(x) est décroissante sur ]0;1[ et croissante sur ]1;+∞[

C'est cà?

[Zorro]

Tu connais les tableaux de signes ? (rappelle toi tes cours de seconde !!!!)

[maya1011]

D'où le tableau de variation suivant
x 0 1 +∞
g'(x) - +
g(x) croissante décroissante

[Zorro]

Tu as trouvé quoi comme factorisation de x²-1 ? Tu as oublié de nous le dire ! Il ne faut pas le faire pour ton prof !

[maya1011]

x²-1=(x+1)(x-1)
donc x+1>0 car x>0
x-1>0 si x>1

[Zorro]

Donc d'après le tableau de variation de g sur ]0 ; +∞[ , on peut conclure que g admet un minimum qui vaut ..... pour x = ....

Donc pour tout x > 0 , g(x) > à quoi ?

[maya1011]

Donc d'après le tableau de variation de g sur ]0 ; +∞[ , on peut conclure que g admet un minimum qui vaut 0 pour x = 1

Donc pour tout x > 0 , g(x) > 0

[Zorro]

Non g(1) ne vaut pas 0 ....

1 est bien la valeur de x pour laquelle la fonction g admet un minimum !

As-tu trouvé par hasard ou sais tu vraiment lire un tableau de variation (se souvenir de ses cours de seconde ! )

[maya1011]

Ah non je me suis trompé 0 c'était g'(x)
Donc je rectifie c'est g(1)=3

[maya1011]

Oups je viens de m'apercevoir que je me suis trompé dans l'énoncé du 2) de la partie A

PARTIE A: On considère la fonction g définie sur ]0;+∞[ par : g(x)=x² + 2 -2lnx

1. montrer que g'(x)=[2(x²-1)] / x et étudier le signe de g'(x) sur ]0;+∞[ puis faire le tableau de variation de g
2. en déduire que g(x)**>**0 sur ]0;+∞[

[Zorro]

Donc sur ]0 ; +∞[ , g admet un minimum 3 pour x = 1

Donc pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ , g(x) ≥ .... > 0

Pour ta démonstration , il faut remplir les ....

[maya1011]

Oui d'accord j'ai compris merci
alors c'est :
pour tout x ∈ ]0 ; +∞[ , g(x) ≥ 3 > 0

Et sinon pour la partie B j'ai réussi les limites mais pas les autres questions et en particulier la 1)
Pourriez-vous m'aider svp
Merci d'avance

[Zorro]

f(x) = x - 1 + 2 ln(x)/x

comment peux tu décomposer f(x) pour ne étudier sa limite en 0

${\lim }_{x\to 0},x-1,=,$ quoi ?

${\lim }_{x\to 0}\frac{ln(x)}{x},=,$ quoi ?

[maya1011]

Alors lim quand x tend vers 0 (x-1) = 0
lim quand x tend vers 0 (lnx/x) = -∞
Donc lim quand x tend vers 0 f(x) = -∞