Démontrer des propriétés en utilisant les angles orientés

[sophie]

Je n'arrive pas à résoudre ce problème. J'ai fait la question 1)a et b. Voici l'énoncé. Je vous remercie de me donner quelques pistes pour la suite car je suis bloquée.

NdZ : dans la suite, les vecteurs sont notés en caractères gras.
Le but de l'exercice est de déterminer l'ensemble F des points du plan tels que A et B étant deux points distincts du plan donnés (MA ; MB) = -$pi$/6

1) Pour cela, on suppose le problème résolu et on considère un point M appartenant à cet ensemble F.

a) Démontrer que les points A, B et M ne sont pas alignés.

b) Démontrer que si un point M appartient à l'ensemble F alors, I désignant le centre du cercle circonscrit au triangle ABM, dans le triangle IAB, l'angle AIB vaut $pi$/3.

(pour cette question, j'ai démontre que (IA ; IB) = 2 (MA ; MB). Théorème de l'angle au centre.

c) Démontrer qu'il existe un unique point Q appartenant à la médiatrice du segment (AB) tel que : (QA ; QB) = -$pi$/3 puis que Q = I

d) en déduire que si un point M appartient à l'ensemble F, alors M appartient à un cercle C passant par A et par B dont le centre est parfaitement déterminé, uniquement en fonction de A et de B.

e) Plus précisément, démontrer que l'ensemble F est inclus dans l'un des deux arcs de cercle d'extrémités A et B du cercle C, privé des points A et B.

2) Réciproquement, on considère l'unique point I de la médiatrice du segment (AB) tel que (IA; IB) = -$pi$/3

Soit C le cercle de centre I passant par A et B.

Démontrer que si un point M, distinct de A et de B appartient à C, alors :
(MA ; MB) = -$pi$/6 ou (MA ; MB) = $pi$ - $pi$/6

(ici, je pense que l'angle inscrit fait la moitié de l'angle au centre. Mais comment le démontrer avec les angles orientés ? Avec la tangente ?)

3) Conclure.

(Ici, pour conclure, je pense que l'ensemble F appartient à l'un des deux arcs de cercle privé de A et de B).

Merci de m'aider. Je suis bloquée pour ces démonstrations.

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