détermination de réels d'un polynôme

Bonjours je suis en première S et j'ai un exercice sur les polynômes sur lequels je bloque donc je voudrais votre aide le voici :

Déterminer les réels r et s tels que le polynôme P défini par :

P(x)= $x^4$ + rx³ + sx² + 12x + 4 soit le carré d'un polynôme Q .

Voilà je vous demande un peu d'aide car ça fait environ une heure que j'essaye mais je ne suis arrivé a rien . Merci d'avance

Bonjour,
Pose Q(x) = x² + ax + b
Calcule Q² et identifie les coefficients avec ceux de P

J'ai mis au carré mais cela me semble bizarre je pense que je me suis trompé car j'obtient : $x^4$ + a²x² + b² + 2abx³ est ce possible ?

Non :
je ne vois pas d'où vient $2abx^3$
et il doit manquer des termes

Suite du message :
dans le calcul de (m+n+p)², tu dois avoir 9 termes dont certains se regroupent par paires : c'est une généralisation de (m+n)²
Si tu n'y arrives pas : développe terme à terme.

Oui je me doutais bien enfaite je sais pas comment faire pour le mettre au carré puisqu'il y a trois termes et généralement je le fait juste avec deux termes donc peux tu m'aider stp j'ai essayé justement terme à terme mais aprés que j'ai fait les deux premier je ne sais plus quoi faire

(m+n+p)² = (m+n+p)(m+n+p)
= m² + mn + mp + nm + n² + np + pm + pn + p² : 9 termes
= m² + n² + p² + 2mn + 2mp + 2np : j'ai regroupé
Dans ton calcul, m c'est x², n c'est ax, et p c'est b.
A toi

ok ça donne : $x^4$ +b²+a²x²+2abx+2ax³+2bx² non ?

Oui : regroupe les termes en x² : (a²+2b)x²
Ensuite, compare avec P(x).
Tu commences par trouver b ( attention : deux possibilités).
Pour chacune, tu trouves a puis r et s.
Tu obtiens ainsi deux polynômes P possibles.

je dirais que b=2 ou b=-2
avec b=2 on aurais : a= 3 r=6 et s=13

et avec b=-2 on aurais : a=-3 r=-6 et s=5 est ce bon ?

C'est juste.
Mais attention à la rédaction ensuite : deux remarques :

je t'ai fait chercher Q(x) sous la forme x² + ax + b : pourquoi ? à cause du terme en $x^4$ quand on élève au carré
Mais j'aurais pu aussi te faire chercher Q(x) sous la forme -x² + ...
Donc tu devrais obtenir au total 4 polynômes Q.
Mais c'est sans importance car ils sont deux à deux opposés : deux polynômes opposés ont le même carré.
Donc, il y a bien au total deux polynômes P possibles : ceux dont tu as trouvé les coefficients ( r et s ).

Ok ok merci de ton aide je vais faire attention à la rédaction alors ! encore merci et peut être à une prochaine fois si j'ai de nouvelles difficultées

Pas de problème.
A+