DM barycentres et produit scalaire : ensemble de points.

Bonjour,

Matière / Niveau: 1ère S , maths

Problème ou exercice :

Soit le triangle ABC avec AC = 4 et G barycentre de {A(3) ; C(-7)}.

a) Montrer que vecteur CG = -3/4 CA et construire le point G.

b) Déterminer et tracer l'ensemble (E) des points M du plan tels que

$ma2−mg2=−49.\small ma^2 - mg^2 = -49.$

c) Déterminer et tracer l'ensemble (F) des points M du plan tels que

(3 MA - 7 MC).MB = 0.

(produit scalaire)

Où j'en suis :

1ère question résolue.
J'ai trouvé : CG= a/(a+c) CA= 3/ (-7+3) = -3/4 CA.

Mes questions :

Je ne comprends ni le b) ni le c) parce que dans le b) si je fais l'identité remarquable, ça ne m'avance à rien. Et dans le c) je pense à remplacer M par G mais je ne suis pas sûre que c'est ce que l'on me demande vraiment.

Je dois rendre ce DM mardi et j'ai d'autres exercices qui me posent problème, donc si vous avez quelques conseils à me donner, quelques pistes, merci d'avance !

[NdZ : en gras, des vecteurs.]

Salut pumpkin

Pour la question b) avec l'identité a² - b², introduis par relation de Chasles le milieu M de [AB] dans la somme. Ensemble (E), je penche pour une ......

Dans la c), il ne faut pas remplacer M par G, mais plutôt introduire G par relation de Chasles. Ensemble (F), je penche pour un ......

voilà, essaie avec ça.

Alors dans la question b), si j'utilise l'identité remarquable, cela me fait :

( vecteur MA + vecteur MG) * produit scalaire ( vecteur MA - vecteur MG) = -49.

Vous parlez de la somme donc de la première partie * mais "introuidre le milieu M de [AB] ? M fait déjà partie de la somme.

Je ne comprend pas. Ou alors remplacé vecteur MA par - vecteur MB ?

Désolé, je ne suis pas très douée...

Pardon je me suis mal exprimé : c'est bien le milieu (I par exemple) de [AG] qu'il faut introduire. Avec M il y avait un conflit de notation. De cette manière, MA + MG se simplifie en un seul vecteur ; et de l'autre côté MA - MG est un vecteur fixe indépendant de M.

Donc :
MA^2 - MG^2 = -49
(MA+MG).(MA-MG) = -49
(MA+MG). (GA) = -49
2MI.GA =-49

Je ne comprend pas ce que je dois faire après

Salut pumpkin !

Cela signifie que le vecteur MI est orthogonal au vecteur fixe GA, c'est-à-dire (MI) est perpendiculaire à (AG) : par rapport au point I fixe, les points M sont tous placés ................... par rapport à (AG).

Quel est donc le lieu des points M ?

Mais pourquoi cela signifie que MI et GA sont orthogonaux ? je ne comprend pas. Et si c'est vrai donc les points M sont sur la médiatrice de (AG) passant par I, non ?

ah oui non pardon j'ai pas fait attention au -49 décidément !

on va donc "projeter" un peu sur (AB)...

alors... si tu trouvais un point P de (AB) tel 2PI.GA = -49 (tu as 2PI.GA = 49 et PI, GA n'ont pas le même sens), ce serait le projeté de tous les points M perpendiculairement à (AB).

la difficulté consiste donc à placer un point P aligné avec A et B tel que 2PI.GA = -49.

excuse-moi de t'avoir embrouillée !

cela te donnera la réponse car alors

2PI.GA = -49 et 2MI.GA = -49

donneront

2(PI - MI).GA = 0

soit

2PM.GA = 0

et ça, ça te dit que les points M sont sur une droite bien déterminée.

Oula, où est passé le M ? C'est assez complexe là... Pourquoi d'un coup on passe de MI à PI puis on mélange les deux ? Et le -49 devient 0 ?? Et où est P ? :S

Dans le message de 12:00 je cherche un point P solution particulière de ton problème : un point sur la droite, qui "marche".

Dans le message de 12:08, j'utilise ce point P pour réduire le problème à un exo du genre XY. UV = 0 qui crée une droite si UV est un vecteur fixe. Je fais une soustraction entre les deux égalités 2PI.GA = -49 et 2MI.GA = -49 pour obtenir la ligne suivante...

Tu n'as jamais fait d'exo de ce genre ? courage...

Waw non je n'ai jamais fait d'exo aussi compliqué, avec des soustractions comme ça et tout. Dire que j'aurais du avoir ce DM en DS... Bon, merci, je vais réfléchir à tout ça après manger. merci encore !

ah ben dis donc... c'est qu'on peut difficilement inventer la méthode n'est-ce pas !

on commence par transformer le membre de gauche MA² - MG² avec le milieu I de [AG]
ensuite on trouve un point particulier P sur (AG) qui "marche"
enfin on montre que tous les M sont alignés avec P sur la perpendiculaire à (AG).

Mais P il est où exactement ?