Equation (symétrique, réciproque) du 4e degré



  • EXERCICE:
    On veut résoudre l'équation (E): 2x42x^4-9x^3 +14x^2 -9x+2=0

    a) vérifier que 0 n'est pas solution de l'équation et établir que l'équation (E) équivaut à l'équation (E1) : 2(x^2 +1/x^2 )-9(x+1/x)+14=0 .
    b) On pose u=x+1/x. Calculer u^2 .
    Etablir que l'équation (E1) équivaut à : u=x+1/x et 2u^2 -9u+10=0
    c) Résoudre dans R l'équation 2u^2 -9u+10=0.
    En déduire les solutions de l'équation (E).

    LES REPONSES QUE J'AI TROUVEE :
    a) je vérifie que 0 n'est po une solution à établir:
    E: 0+0+0-0+2=0 donc 0 n'est pas solution!!
    j'établie que E est équivaut à E1 :===> pour cela je devellope E1
    2x^2 +2/x^2 -9x-9/x+14=0
    (2x4+2)/x^2 -(9x^2-9)/x+14=0== > JE SUIS loin de prouver que E est équivaut a E1! 😕

    b) u^2 = (x+1/x)^2
    =x^2 +2x/x+(1/x^2 )
    =x^2 +2+1/x^2 ====> pour la suite de la question je suis bloquée!

    c) u(2u-9)+10=0 ===> 😕

    AIDEZ MOI A FINIR CET EXERCISE S'IL VOUS PLAIT!!!



  • Salut.
    Il y a déjà eu plusieurs topics quasi-identiques à ce sujet.
    Commence par jeter un oeil à ce lien.



  • et pour la suite ????????? je fait quoi???? donc pour la kestion a) j'ai trouvé!!!!!!!!!



  • Pour b), il n'y a qu'à... calculer !
    u², ça doit aller, non ?



  • Zauctore
    Pour b), il n'y a qu'à... calculer !
    u², ça doit aller, non ?

    oui pour la b) ca va!! c'est 2(u^2 -2)-9u+14=0

    donc pour la c) j'utilise la méthode pour résoudrre une équation du second degré???? (delta)=-(-9)^2 +4210
    =81-80
    =1
    donc (delta) > 0
    ALOrs l'équation admet 2 solutions==> x1=(9- sqrtsqrt1)/2*2
    x1 =(9- sqrtsqrt1)/4

    et x2=(9+ sqrtsqrt1)/4
    DONC les solutions de E sont x1 et x2!!! AI-JE RAISON????????????? 😕



  • voyons : du calme, pathi !

    ta "formule" pour delta est fausse, mais le résultat est juste.

    tu ne vas quand même pas trimbaler des sqrtsqrt1 longtemps, j'espère.



  • Zauctore
    voyons : du calme, pathi !

    ta "formule" pour delta est fausse, mais le résultat est juste.

    tu ne vas quand même pas trimbaler des sqrtsqrt1 longtemps, j'espère.

    enffet la formule est bien===>
    (delta)= b^2 +4ac oui c 'est vrai que je me suis trompée!
    mais je ne peut pas simplifier!! enfin toute facon je ne peut pas faire mieu!!!
    x1= 9/4- sqrtsqrt1/4 x2= 9/4+ sqrtsqrt1/4



  • Attention : (delta) = b² - 4ac avec un signe "moins" !

    Simplifie avec sqrtsqrt1 = 1, n'est-ce pas...



  • Avec tes racines 2 et 2,5 (pour 2u² - 9u + 10), arrives-tu à en déduire les solutions de l'équation initiale (E) ?



  • oui je suis d'accord avec la formule ( je suis bete !!!!)

    x1= 9/4-1/2 x2=9/4+1/2

    je n'en sais rien si je peu ou pas!!!==> j'en ai marre-(

    Voila je croi ke j'ai enfin terminée!!! merci de m'avoir aidé Eulérien et les autres!!!!!!!!! :



  • On reprendra quand tu te seras remise de tes efforts !
    x1= (9 - 1)/4 = 2
    x2=(9 + 1)/4 = 2,5.



  • Zauctore
    On reprendra quand tu te seras remise de tes efforts !
    x1= (9 - 1)/4 = 2
    x2=(9 + 1)/4 = 2,5.

    je suis d'accord que x1=2 et x2=2.5 mais quelle est le rapport avec E??ENFIN JE PAUT DIRE QUR CEUX SONT LES SOLUTIONS DE L'EQUATION E MAIS SANS SAVOIR LE JUSTIFIER!! 😁



  • Bon alors, on finit maintenant.

    On a vu successivement que l'équation (E)
    2x42x^4 - 9x39x^3 + 14x214x^2 - 9x + 2 = 0

    est équivalente à l'équation (E1(E_1 )
    2(x² + 1/x²) - 9(x + 1/x) + 14 =0

    elle-même équivalente à (E2(E_2 )
    2u² - 9u + 10 = 0
    à condition de poser u = x + 1/x.

    L'équation (E2(E_2) a pour solutions
    u 1_1 = 2 ou u2u_2 = 2,5
    ce qui se traduit alors par
    x + 1/x = 2 ou x + 1/x = 2,5.

    C'est ce qui permettra de récupérer les solutions de (E).
    Je te laisse réfléchir à la façon de procéder.



  • je sai que l'équation E est équivaut a E1 donc ils ont les memes solutions!!! a part je ne peut rien dire !!! 😕 donc les solutions de E sont 2.5 et 2!!!



  • pathi
    je sai que l'équation E est équivaut a E1 donc ils ont les memes solutions!!! a part je ne peut rien dire !!! 😕 donc les solutions de E sont 2.5 et 2!!!

    a ouiiiiiiiii donc x=2-1/x ou x= 2+1/x

    x=(2x-1)/x ou x=2x+1)/x
    je sen que je fais n'importe quoi!!!!!



  • Puisque x diff/ 0, on a x + 1/x = 2 equiv/ x² - 2x + 1 = 0.
    Cette équation donnera (une ou) deux solutions pour (E).

    De même avec x + 1/x = 2,5.

    @+



  • Pour finir...
    x + 1/x = 2,5 equiv/ x² - 2,5x + 1 = 0
    d'où x = 2 ou 0,5.

    On peut au final en déduire en passant que le polynôme de degré 4 du départ (dans (E)) peut s'écrire
    2 (x - 1)21)^2 (x - 2) (x - 0,5).



  • ouI je suis tte a fait d'accord avec enfin plutot avec la méthode pour trouver!!! mais franchement cette exercice est haut dela de mes capacité en maths!!! Donc merci de m'avoir aidé!!! 😉



  • "Haut dela", hum...
    t'as choisi S ; assume et mets-toi au niveau !

    essaie de ré-appliquer la méthode pour

    (I) x4x^4 + 10x310x^3 + 26x226x^2 + 10x + 1 = 0 ;

    (II) 2x42x^4 - 9x39x^3 + 8x28x^2 - 9x + 2 = 0.

    @+



  • pour faire le I et II ===> j'ai suivit la meme méthode mais je voit pas!! je suis désolé! ( g essayé et pas réussi)



  • exercice
    (I) x4x^4 + 10 x3x^3 + 26 x2x^2 + 10 x + 1 = 0 ;

    -On montre sans difficulté que 0 n'est pas solution.

    -On peut donc tout diviser par x², ce qui donne
    (I) equiv/ x2x^2 + 10 x + 26 + 10/x + 1/x21/x^2 = 0
    equiv/ (x² + 1/x²) + 10 (x + 1/x) + 26 = 0.

    -On pose u = x + 1/x. Alors u² = x² + 1/x² - 2.
    D'où (I) equiv/ u² + 10 x + 24 = 0. On résout en u.
    Cette équation donne u = -4 ou -6.

    -On remonte le changement de variable pour résoudre en x
    a) x + 1/x = -4
    equiv/ x² + 4x + 1 =0
    equiv/ x = -2 - sqrtsqrt3 ou -2 + sqrtsqrt3.
    b) x + 1/x = -6
    equiv/ x² + 6x + 1 = 0
    equiv/ x = -3 - 2sqrtsqrt2 ou -3 + 2sqrtsqrt2.

    On a obtenu les quatre solutions de cette équation symétrique du 4e degré.

    A toi pour (II) !



  • Je te donne les solutions de (II)
    x = 2 - sqrtsqrt3 ou 2 + sqrtsqrt3
    Il n'y a que deux solutions ici !



  • enfin j'arrive a trouver les solutions sans me casser la tete!!!
    Exemple II: 2x4-9x ^3+8x^2-9x+2=0
    a) 0+0+0+2=0==> donc 0n'est pas solution 😁
    2x^2 -9x+8-9/x+2/x^2
    equiv/ 2(x^2 +1/x^2 )-9(x-1/x)+8

    b)on pose u=x+1/x. ===> u^2 =x^2 +1/x^2 +2
    2(u^2 -2)-9u+8=0 ===> 2u^2 -9u+4=0
    (delta)=49
    u1=1/2 ou u2=4 😉

    x+1/x=1/2
    (delta)=1/4-4==> (delta) <0 ===> pas de solution

    x+1/x=4
    (delta)=12 donc x1=12 donc x1=2- sqrtsqrt3 ou 2+ sqrtsqrt3 😄

    voilà !! :razz:



  • Bravo !



  • Simple question :
    Coment au final on arrive a démontrer que :
    (2x4+2-9x3-9x+14x2)/x2 = 0
    Equivaut à :
    2x4-9x3
    14x2-9x+2 = 0

    ???

    Répondez moi j'ai exactement le même DS que toi et je comprend rien du tout à cet exo !!!

    Merci d'avance :rolling_eyes:



  • Un quotient P/Q ne peut être égal à 0
    que lorsque son numérateur P est égal à 0.
    C'est pour cela que
    (2x4(2x^4 + 2 - 9x39x^3 - 9x + 14x²)/x² = 0
    equiv/ 2x42x^4 + 2 - 9x39x^3 - 9x + 14x² = 0
    il ne reste qu'à ré-ordonner les termes.


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