Limites et fonctions.

Bonjour à tous !

J'ai un peu de mal avec les limites et calculs de fonctions. Je vous donne l'énoncé :

*Soit la fonction f définie par f(x) =√(x²+1) -x

Démontrer que l'ensemble de définition est R
Limites aux bornes.
a) Déterminer la limite de f en -∞
b) Peut on déterminer la limite "facilement" en +∞
c) Montrer que pour tout x positif on a f(x)≥0 (indication x²+1 ≥ x²)
d) Vérifier que pour tout x positif f(x) = 1/√(x²+1) -x indication: calculer :
[√(x^2+1) -x] - 1/[(√x^2+1) + x]
e) En déduire la limite en +∞

3)Variation de la fonction f.
a)Déterminer la dérivée de f
b)En déduire que f'(x)≤ 0
c) En déduire la variation de f.
d) En déduire le tableau complet de variation de f;

Tracer la courbe représentative de f.

Alors comme je vous l'ai dis .. je comprend pas vraiment tout ça.. donc si vous pourriez m'aidez.. me donner quelques indications pour que je puisse faire l'exercice.

Merci d'avance pour votre aide !

Bonjour,
Corrige l'énoncé car j'y vois plusieurs erreurs.
L'ensemble de définition n'est pas R , ce qui est d'ailleurs contradictoire avec la suite.
Il n'y a pas de limite lorsque x tend vers -∞ ( avec ta fonction ) car x doit être supérieur à -1 ( pourquoi ? )
Ne serait-ce pas f(x) = √(
x²+1) - x ?

Oui désolé pour l'erreur je l'ai corrigé.
Pour l'ensemble de définition.. c'est R car sous la racine ça doit toujours etre positif et x peut etre positif comme négatif. Non?

Cette fois oui.

J'ai essayé de calculer la limite de f en -∞ j'ai trouvé 0.
Pourquoi on me dit si la limite en +∞ est facilement déterminable? Une petite explication ? :$

Citation
J'ai essayé de calculer la limite de f en -∞ j'ai trouvé 0.Chaque chose en son temps.
On verra la limite en +∞ après.
Pour le moment, ta limite en -∞ est fausse.
Détaille.

Euh non c'est +∞. Etant donné que la limite de √x= +∞ et x²=+∞.

J'ai du mal à comprendre.
Le résultat final est juste, mais j'ai des doutes quant à la méthode.
De plus, tu ne peux pas écrire d'égalités avec l'infini.
Je te montre :
Quand x → -∞ :
x² → +∞
x²+1 → +∞
donc √(x²+1) → +∞
attention ici : -x → +∞ ( quand x → -∞)
et donc la somme √(x²+1) + (-x) → +∞

D'accord. J'ai compris. Moi j'ai pris ma fiche de cours. Où on me dit justement que lorsque x → -∞ : x² →+∞. J'en ai déduis que la somme devait être valoir +∞ aussi. Voila comment j'ai trouvé le résultat.

Donc pour voir si j'ai compris, dans le cas contraire on aurait eu :
lim -x = -∞
x → +∞
C'est ça ?

Oui, et alors on obtient une forme indéterminée :
Quand x → +∞ :
√(x²+1) → +∞
x → +∞
donc -x → -∞
Et on ne peut alors rien dire de leur somme .
C'est pour cela qu'on t'aide dans les questions suivantes ( c et d ).

Tu sais faire la question c ?

Désolé pour le retard dans mes réponses j'ai quelques soucis avec mon ordi ! ><

Donc pour la question c.. j'ai essayé de la faire.
On fait passer le x de l'autre coté du signe ce qui nous donne :

f(x) = √(x²+1) -x ≥ 0
= √(x²+1) ≥ x

Etant donné que x²+1 ≥ x² alors √(x²+1) ≥ √x² =|x|
F(x) est alors ≥0

Je sais pas si mon raisonnement est correct.

Bonjour,,

La justification de la la première question me semble plus que hasardeuse !

""Pour l'ensemble de définition.. c'est R car sous la racine ça doit toujours etre positif et x peut etre positif comme négatif. Non?""

Je réponds : non . Ce n'est pas la bonne justification .... Il serait préférable d'écrire :

f(x) existe ⇔ x² + 1 ≥ 0 ; or pour tout x de $mathbb{R}$ , ......

Donc si j'ai bien compris ta correction, je rédige ça de cette façon:

Pour tout x de $mathbb{R}$ on a : √(x²+1)≥ 0

Vu que pour que la fonction f soit définie il faut que ce qui soit sous la racine soit positif.

Non !

√X existe si et seulement X ≥ 0

si X ≥ 0 , alors √X existe et √X est positif et -√X est négatif !

Tu mélanges tout !

√2 est un nombre positif , -√2 est un nombre négatif

√-3 n'existe pas , car -3 est négatif !

J'ai compris ton explication.

J'ai essayé de trouver une nouvelle justification. Donc si je reprend un peu tout ce qu'on a dit .. :

f(x) est définie si et seulement si x²+1 ≥ 0.
On sait que x²≥0. Donc x²+1 est également ≥ 0
√(x²+1) est donc définie pour tout x réel.
Et la on peut conclure que f(x) est définie sur $mathbb{R}$ ?

Oui, cette fois, c'est juste.

^^ Enfiin ! Merci pour ton aide !

Maintenant je peux avancer un peu dans les questions.. la question 2.c) ne rejoint-elle pas ce qu'on vient de démontrer dans la question 1 ?

Non la démonstration de ce qu'on te demande dan 2c) n'a rien à voir avec ce qu'on a dit à la 1)

On te donne un indice pour tout x de $IR_+$ , x² + 1 > x² ≥ 0 et la fonction racine carrée est ..... sur les réels positifs ; donc comment sont rangés √(x² + 1) et √x² ?

Ils restent donc dans le meme ordre ..
=> √(x² + 1) ≥ √x² ≥ 0

Pourrait on m'aider s'il vous plait ? =$
Merci