arithmétique PGCD



  • Bonjour j'ai un exo à faire en spé et je n'y arrive pas pouvez vous m'aider ?

    Exercice :

    les suites d'entiers naturels (Xn) et (Yn) sont définies sur N par
    X0=3 et X(n+1)= 2X(n) -1
    Y0=1 et Y(n+1)=2Y(n)+3

    1)démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n; Xn=2 n+1^{n+1} +1
    j'ai réussi à répondre à cette question

    2)*Calculer le pgcd de X3 et X4 puis celui de X2005 et X2006
    (là je sais pas si il faut remplacer n par 3,4,2005 ET 2006)
    *Xn et X(n+1) sont ils premiers entre eux pour tout entier naturel n?

    3)*Démontrer que pour tout entier naturel n, 2Xn-Yn=5

    • Exprimer Yn en fonction de n
      *en utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2 puissance(p) par 5 "la seule question que j'ai réussi à faire"

    • On note dn le PGCD de Xn et Yn pour tout entier naturel n
      Démontrer que l'on a: dn=1 ou dn=5; en déduire des entiers naturels n tels que Xn et Yn soient premiers entre eux.

    merci d'avance pour votre aide



  • Salut.

    Question 2.
    La relation
    2 XnX_n - Xn+1X_{n+1} = 1
    te donne une information sur le pgcd de XnX_n et de Xn+1X_{n+1}.

    PS : à l'avenir, utilise les balises indice et fin d'indice sous la zone de saisie du texte.



  • je n'ai pas compris ce que tu as mis dans ta réponse



  • Suppose que d soit diviseur commun à XnX_n et Xn+1X_{n+1} ; alors d diviserait ... 1, d'après la relation de récurrence.
    Qu'en penses-tu ?



  • en fait A et B sont premiers entre eux (leur pgcd vaut 1) si il existe deux entiers U et V tel que AU+BV=1. ici A=Xn , B=Xn+1

    alors 2.Xn-Xn+1=1 alors U vaut 2 et V=-1, ainsi Xn+1 et Xn sont

    premiers entre eux puisque il peuvent s'ecrire sous la forme précedente.


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