arithmétique PGCD

[lola412]

Bonjour j'ai un exo à faire en spé et je n'y arrive pas pouvez vous m'aider ?

Exercice :

les suites d'entiers naturels (Xn) et (Yn) sont définies sur N par
X0=3 et X(n+1)= 2X(n) -1
Y0=1 et Y(n+1)=2Y(n)+3

1)démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n; Xn=2 ${}^{n+1}$ +1
j'ai réussi à répondre à cette question

2)*Calculer le pgcd de X3 et X4 puis celui de X2005 et X2006
(là je sais pas si il faut remplacer n par 3,4,2005 ET 2006)
*Xn et X(n+1) sont ils premiers entre eux pour tout entier naturel n?

3)*Démontrer que pour tout entier naturel n, 2Xn-Yn=5

• Exprimer Yn en fonction de n
  *en utilisant les congruences modulo 5, étudier suivant les valeurs de l'entier naturel p le reste de la division euclidienne de 2 puissance(p) par 5 "la seule question que j'ai réussi à faire"

• On note dn le PGCD de Xn et Yn pour tout entier naturel n
  Démontrer que l'on a: dn=1 ou dn=5; en déduire des entiers naturels n tels que Xn et Yn soient premiers entre eux.

merci d'avance pour votre aide

[Zauctore]

Salut.

Question 2.
La relation
2 $X_n$ - $X_{n+1}$ = 1
te donne une information sur le pgcd de $X_n$ et de $X_{n+1}$.

PS : à l'avenir, utilise les balises indice et fin d'indice sous la zone de saisie du texte.

[lola412]

je n'ai pas compris ce que tu as mis dans ta réponse

[Zauctore]

Suppose que d soit diviseur commun à $X_n$ et $X_{n+1}$ ; alors d diviserait ... 1, d'après la relation de récurrence.
Qu'en penses-tu ?

[flight]

en fait A et B sont premiers entre eux (leur pgcd vaut 1) si il existe deux entiers U et V tel que AU+BV=1. ici A=Xn , B=Xn+1

alors 2.Xn-Xn+1=1 alors U vaut 2 et V=-1, ainsi Xn+1 et Xn sont

premiers entre eux puisque il peuvent s'ecrire sous la forme précedente.