Exercice Term S

Bonjour !
J'ai un p'tit exo pour demain et je savoir si c'est bon ce que j'ai fait :

Exercice 1
Les propositions suivantes sont-elles vraies ou fausses? Justifier.
1° Dans la division euclidienne de 229 par 12, le quotient est 18 et le reste est 13.

2° Le reste dans la division euclidienne de 2013 par 8 est 5.

3° L'égalité 3754 = 123 x 29 + 187 permet de définir une division euclidienne.

4° Si a et b ont le même quotient et le même reste dans la division euclidienne par n, alors a=b.

5° Il y a exactement n valeurs possibles pour le reste dans une division par n.

6° Si r est le reste dans la division euclidienne de a par n; alors r+1 est le reste dans la division euclidienne de a +1 par n.

7° Si r est le reste dans la division euclidienne de a par n, alors r² est le reste dans la division euclidienne de a² par n.

8° Les restes dans les divisions euclidiennes de a par b et b par a sont toujours égaux.

9° Si q et r sont le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b, alors -q et -r sont le quotient et le reste dans la division euclidienne de -a par -b.

Exercice 2

a et b sont deux entiers naturels avec a>b. On a a + b = 444 et la division euclidienne de a par b a pour quotient 4 et pour le reste 24.
Déterminer les entiers a et b.

Mes réponses.

Exercice 1
1° FAUX car : le reste est supérieur à la dividende.
r < b 13 < 12 --> Impossible.
229 = 12 x 19 + 1

2° VRAI car 2013 = 251 x 8 + 5 et 0 < r < 251

3° FAUX car : le reste est supérieur à la dividende.
r < b 187 < 123 --> Impossible
3754 = 123 x 30 + 64

4° VRAI car : on a
a = nq + r et b = nq + r
Donc a = b.

5° VRAI car : a = nq + r et 0 < ou = r < n , donc r peut prendre [0 ; n [ valeurs.

6° Je ne sais pas

7° FAUX, On a : a = bq + r
Prenons a = 5 et b = 2, et n = 2 on a
5 = 2 x 2 + r On a ici r = 1 (0 < r < 2)

Or 5² différent de 2 x 2 + 1², donc FAUX.

8° FAUX, On a : a = bq + r et b = aq + r
Prenons de nouveaux a = 5 et b = 2 et q = 2 on a :
5 = 2 x 2 + r Ici r = 1 (0 < r < 2)

Or 2 différent de 5 x 2 + 1, donc FAUX.

9° FAUX, On a
a = bq + r
-a = (-b)(-q) - r = bq - r
Or 0 < r < b et en multipliant par (-1) :
0 > r > b, ce qui est impossible.

Exercice 2
On a :
a + b = 444 (L1)
a = 4b + 24 (L2)

(L2) --> (L1)
(4b + 24) + b = 444
5b + 24 = 444
5b = 420
d'où b = 84 et b € N* (L3)

(L3) --> (L2)
a = 4 x 84 + 24
a = 360 et b € Z

On a donc a = 360 et b = 84. avec a € Z et b € N*

Merci d'avance pour vos réponses !