Démonstration par récurrence (ex : suites numarique)



  • bonsoir,

    j'ai un exercice sur les suites que j'arrive pas a faire correctement

    le voila:
    montrer par reccurence que pour tout entier n≥0, n³-n est un multiple de 3

    bon, j'ai verifié les deux premiers termes pour n=0et n=1, j'ai supposée que la relation est vraie .puis j'ai avancé l'hypothese selon laquelle , la relation serai vraie jusqu'a l'ordre n+1donc, pour n≥0, (n+1)³-(n+1) devrait etre aussi multiple de 3
    avec,( 'n+1)³-(n+1) =n(n²+3n+2) mais j'arrive pas a partir de la premiere relation, pour justifier la seconde.

    merci de m'aider!

    *** Edit de Zorro = modification du titre ... suite numérique aurait été préférable à suitesnumarique... !***



  • Bonjour,

    La démonstration par récurrence s'utilise d'une seule façon

    Pour démontrer que la proposition PnP_n : n³-n est un multiple de 3 est vraie pour tout n ≥ 0 , il faut

    1°) démontrer que la proposition est vraie pour le premier rang , ici , n = 0 ...

    Il faut donc démontrer que 0³-0 est un multiple de 3 ... c'est vrai .... alors P0P_0 est vraie

    2°) Pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un rang n ≥ 0 tel que n³-n est un multiple de 3 , il faut, avec cette hypothèse démontrer que la proposition est encore vraie au rang n+1

    Il faut donc démontrer Pn+1P_{n+1} soit démontrer que

    si n³-n est un multiple de 3 , alors (n+1)³-(n+1) est un multiple de 3

    Alors on y va :

    On part de l'hypothèse : n³-n est un multiple de 3 , donc il existe un entier k tel que n³-n = 3k

    calcule (n+1)³-(n+1) et regarde ce que tu trouves



  • (n+1)³-(n+1)=n(n²+3n+2)



  • (n+1)³ - (n+1) = (n+1) [ ..... ]

    et n = 3k , alors ...



  • je pensé que normalement, je devrai partir de n³-n pour aboutir a
    n(n²+3n+2) c pas ca?



  • c n=3k ou c n³-n qui l'est?



  • pardon c'est n³-n = 3k

    donc n(n²-1) = n (n+1) (n-1) = 3k

    et tu devrais y arriver à montrer que (n+1)³ - (n+1) = 3 * (un entier)



  • justement, c ca que j'arrive pas a faire. comment de montrer que
    (n+1)³-(n+1)=3k' avec k'∈N?



  • en effet ... je t'ai mis sur une mauvaise route ! ... Pardon ...

    (n+1)³-(n+1) = n³ + 3n² + 2n = n³ - n + 3n² + 3n

    (n+1)³-(n+1) = (n³ - n) + 3(n² + n)

    (n+1)³-(n+1) = 3k + 3k' = 3 (k + k') .... reste à dire que k' est un entier ...

    Toutes mes excuses ... je croyais sans avoir fait les calculs qu'on pouvait y arriver plus vite !



  • merci, je crois que j'ai saisi 😄


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