Démonstration par récurrence (ex : suites numarique)

bonsoir,

j'ai un exercice sur les suites que j'arrive pas a faire correctement

le voila:
montrer par reccurence que pour tout entier n≥0, n³-n est un multiple de 3

bon, j'ai verifié les deux premiers termes pour n=0et n=1, j'ai supposée que la relation est vraie .puis j'ai avancé l'hypothese selon laquelle , la relation serai vraie jusqu'a l'ordre n+1donc, pour n≥0, (n+1)³-(n+1) devrait etre aussi multiple de 3
avec,( 'n+1)³-(n+1) =n(n²+3n+2) mais j'arrive pas a partir de la premiere relation, pour justifier la seconde.

merci de m'aider!

*** Edit de Zorro = modification du titre ... suite numérique aurait été préférable à suitesnumarique... !***

Bonjour,

La démonstration par récurrence s'utilise d'une seule façon

Pour démontrer que la proposition $P_n$ : n³-n est un multiple de 3 est vraie pour tout n ≥ 0 , il faut

1°) démontrer que la proposition est vraie pour le premier rang , ici , n = 0 ...

Il faut donc démontrer que 0³-0 est un multiple de 3 ... c'est vrai .... alors $P_0$ est vraie

2°) Pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un rang n ≥ 0 tel que n³-n est un multiple de 3 , il faut, avec cette hypothèse démontrer que la proposition est encore vraie au rang n+1

Il faut donc démontrer $P_{n+1}$ soit démontrer que

si n³-n est un multiple de 3 , alors (n+1)³-(n+1) est un multiple de 3

Alors on y va :

On part de l'hypothèse : n³-n est un multiple de 3 , donc il existe un entier k tel que n³-n = 3k

calcule (n+1)³-(n+1) et regarde ce que tu trouves

(n+1)³-(n+1)=n(n²+3n+2)

(n+1)³ - (n+1) = (n+1) [ ..... ]

et n = 3k , alors ...

je pensé que normalement, je devrai partir de n³-n pour aboutir a
n(n²+3n+2) c pas ca?

c n=3k ou c n³-n qui l'est?

pardon c'est n³-n = 3k

donc n(n²-1) = n (n+1) (n-1) = 3k

et tu devrais y arriver à montrer que (n+1)³ - (n+1) = 3 * (un entier)

justement, c ca que j'arrive pas a faire. comment de montrer que
(n+1)³-(n+1)=3k' avec k'∈N?

en effet ... je t'ai mis sur une mauvaise route ! ... Pardon ...

(n+1)³-(n+1) = n³ + 3n² + 2n = n³ - n + 3n² + 3n

(n+1)³-(n+1) = (n³ - n) + 3(n² + n)

(n+1)³-(n+1) = 3k + 3k' = 3 (k + k') .... reste à dire que k' est un entier ...

Toutes mes excuses ... je croyais sans avoir fait les calculs qu'on pouvait y arriver plus vite !

merci, je crois que j'ai saisi