Les Suites ( inégalités , récurrences ! , ....)

Bonjour tout le monde !
J'ai quelques difficultés pour résoudre ses quelques exercices , Si vous pouviez m'apporter votre contribution , ce serait avec grand plaisir ! Merci !
Voici les deux énoncés du livre de Mathématiques :
Exercices 2.1
Posons U1= 1/4 ; U2= "1 X 3 / 4 (au carré) . 2 " et pour tout entier
n ≥ 3 , Un = ( 1 X 3 X .... X (2n-1) ) / 4 $^n$ . n!

-> Démontrer l'inégalité "Un+1 / Un"< 1/2 . En déduire la limite de la suite (Un)

Exercice 2.2
Pour tout entier n ≥ 1 , posons Un= racine 1+ racine 2 + ... + racine de n .
-> Montrer par récurrence que l'on a Un ≥ n racine de " n/2" pour tout entier n ≥ 1 . En déduire la limite de n/ Un .
Posons Un=U2n -Un .
-> Démontrer l'inégalité n racine de "n+1" < Un < n racine de "2N" . En déduire la limite de Un/n et la limite de Un/ N ( au carré )

Pour ses deux exercices , J'ai seulement une vague idée pour la question 3 : pour démontrer l'inégalité :
-> Si l'on a n+1 < a < 2n, alors racine de "n+1" < racine de "a "< racine de "2" ??

Dans l'attente de vous relire :lettre:
En vous remerciant pour vos contributions :we:

*Ci-joint le scan de exercice 2.1 et 2.2 . *

Bonjour,

Pour l'inégalité, exprime le rapport $U_{n+1}$ / $U_n$ en fonction de n.

Merci pour le 2.1 . J'ai trouvé !
→ Pour la limite de la suite (Un) , J'ai mis que la limite de la fonction tend vers 0 car q < ½ ?

Pour le 2.2 .
Question a)
→ Un > n racine de (n/2 )
Alors Un+1 = racine de « n+1 » = racine de « 1 »
Un+1 > n racine de « n/2 » + racine de « n+1 » ….

Je bloque , Je ne sais pas si même ce que j'ai effectué est bon ? J'ai beaucoup de difficultés dans le raisonnement par récurrence , Sortant de ES , on le voit très peu dans nos résolutions .
Du coup la limite ?

Question b)
→ - n racine de « n+1 » < Un < n racine de « 2n »
n racine de « (n+1)+1 < U2n+1 – Un+1 < n racine de « (2n) +1 »....
Je suis en train de refaire un raisonnement par récurrence , mais je doute que ce soit utile ? Donc , je ne sais pas comment le démontré …
La limite est-ce bien : Un – n ?

Si vous pouvez m'aider , Merci beaucoup
Je vous en remercie par avance
Merci à ceux qui m'ont dejà bien aidé :rolling_eyes: