Affirmation complexe

[KaioshinDBZ]

Bonjour, je suis tombée sur un exercice qui affirmait des propositions et qu'il fallait justifier...ça m'a posée problème...

1/ Soit (E) l'ensemble des points M d'affixe z vérifiant: z= 1-2i +eiθ
avec θ un réel:
(E) est alors le cercle de centre d'affixe 1-2i et de rayon 1

2/ Soit f l'application du plan qui,à tout point M d'affixe z, associe le point M' d'affixe z' tel que: z'= -iz-2u:
f est alors la rotation de centre d'affixe -1-i et d'angle -pi/2

Pour la 1/ j'arrive à z=eiθ -2i+1 mais je n'arrive pas à passer à la formule de la rotation: z'=eiθ(z-ω) +ω

pour la 2/ j'arrive à z'= $e^{-pi/2\theta }$*(z+2) ùais là encore je n'arrive pas à dégager l'affixe du centre de la rotation: ω

Si vous pouviez m'aider...merci.

[KaioshinDBZ]

un indice? :rolling_eyes:

[Iron]

Bonsoir,

1. z = 1-2i $+e^{i\theta }$ soit z - (1-2i) = $e^{i\theta }$

donc |z - (1-2i)| = |$e^{i\theta }$|

avec M(z) et A(1-2i) ... je te laisse poursuivre

(ne cherche pas de rotation ici)

2. f est de la forme z' = az + b (a et b étant des complexes)

avec |a|=1 et a≠1

f est donc une rotation de centre I et d'angle arg(a)

Pour trouver l'affixe $z_I$ de I, ce sera le point fixe de la transformation, il faut donc résoudre $f(z_I$) = $z_I$

je te laisse poursuivre aussi ...

bon courage

[KaioshinDBZ]

merci beaucoup!

pour le 1/ j'arrive donc à: comme la distance de M(z)à A(1-2i) reste la même:1 (module de eiθ) j'en conclue que M(z) décrit le cercle de centre A et de rayon 1

pour le 2/ j'arrive à zI= i+1...mais je ne sais pas trop comment continuer...

[Iron]

1. parfait

2. Tu dois trouver ZI = -1-i pour point fixe, tu dois avoir une erreur de signe
   vérifie.

[Iron]

Bonjour

f: M(z) → M'(z') tel que z' = -iz-2i

pour trouver le point fixe, tu résous f(z) = z soit :

z = -iz-2i
z + iz = -2i
z (1+i) = -2i
z = -2i / (1+i)
z = [(-2i)(1-i)] / [(1+i)(1-i)] en multipliant en haut et en bas par le conjugué du dénominateur
z = [-2i-2] / [2]
z = [2(-i-1)] / [2]
z = -i-1

ok ?