DM sur les logarithmes

Bonjour alors voila j'ai un dm a faire pour la rentrée et à vrai dire je bloque sur une question qui est
montrer que l'équation f(x)=0 admet trois solutions donner un encadrement à 10^-2 des solutions non entieres .
sachant que f(x)=xln x -2ln x-(lnx)²
j'espere que vous pourrez m'aider merci d'avance

Bonsoir,

Etudie les variations de la fonction f.

j'ai deja etudier les variations de f mais le probleme c'est que je n'arrive pas a faire le rapport entre les variations et le fait de calculer les solutions de f'x)=0 ..

A partir des variations, montre que le graphe de la fonction f, admet trois points d'ordonnée 0.
Indiquer ton résultats pour les variations.

oui graphiquement on le voit bien qu'il ya 3 solutions mais par le calcul je n'arrive pas à les retrouvés j'ai fait
f'(x)=(1-2/x)(1+lnx)
donc on resoud 1-2/x=0 ce qui nous donne x=2
mais la fonction ln x est toujours positive donc je ne voit pas comment trouver les deux autres solutions

Ce n'est pas f'(x) =0 qui faut résoudre, mais f(x) = 0.
Tu dois trouver un encadrement des solutions avec la calculatrice.
Indique ton tableau de variations.

a je crois que je viens de comprendre il faut tout simplement que je mette l'intervalle dans lequel la solution est comprise ?

exact,
trois encadrements d'amplitude $10^{-2}$ .

a daccord merci

Théorème des valeurs intermédiaires.
Indique tes résultats.

bonjour alors pour les solutions j'ai trouvé
0.10<x01<0.20 sur ]0;0.4]
0.95<x02<1.05 sur [0.4;2]
3.1<x03<3.2 sur [2;+∞[

par contre j'ai à nouveau un probleme sur les 2 dernieres questions du dm
g(x)=2x est definie sur ℜ et sa representation graphique est appelée delta
f(x)=xln x -2ln x -(ln x)² definie sur ℜ*+ et sa representation graphique est applée T et T' est celle de f'

1- on veut determiner si la courbe est representative de f coupe delta pour 0≤x≤7. que peut-on conjecturer à l'aide de la calculatrice ?
2- on s'interesse aux solutions de l'equation f(x)=g(x) appartenant à l'intervalle [7;+∞[.
a- montrer que f' est croissante sur [7;+∞[
b-en deduire que f'(x)≥2.1 sur [7;+∞[
c-montrer que l'equation f(x)=g(x) admet une solution unique sur [7;+∞[ on utilisera la fonction h definie sur [7;+∞[ tel que h(x)=f(x)-2x

pour la
1- j'ai fait lim (f(x)-g(x))=0
×→+∞
on en deduit que delta coupe f en 0.3
et que delta est asymptote oblique a f

2- a- j'ai fait le signe de f' sur [7;+∞[
b-j'ai fait le theoreme des valeur intermediaires
c- j'ai resolu f(x)-2x=0

Bonjour,

La question 1 est une conjecture à l'aide de la calculatrice. Tu traces les fonctions et tu conjectures sur le nombre de points d'intersection.

donc je n'est pa besoin de calculer les points d'intersections je les lis tout simplement ?

mais je voudrais savoir aussi si le reste est bon ?

Les indications données sont justes mais tu n'as pas donné tes résultats.

pour la question 1 les droites ne se croisent pas sur [7;+∞[

2-a- f'(x)=(1-2/x)(1+ln x)
ln x est toujours positif
et 1-2/x⇔x=2
donc f' positive donc croissante

b- la limite en 7 de f' = 2.10
comme la fonction f' est toujours croissante alors f'(x)≥2.1

c-j'ai fait f(x)-2x=0
⇔xlnx -2 ln x-(ln x)²-2x apres je suis bloquée
on ne peut pas faire delta ..

Etudie les variations de la fonction h.

j'ai calculer la derivée de h qui est h'(x)=-(2ln x -x ln x+x+2)/x
f'(7)= -8
lim h'(x)=+∞
×→+∞

a laide de la calculatrice j'ai trouver que la fonction croisait l'axe des abcisses en 16.7 mais je n'arrive pas a retrouver ce resultat par le calcul

Vérifie le calcul de la dérivée.

(xln x - 2ln x -2-x)/x

La dérivée est juste.

je n'arrive pas a resoudre h'(x)=0

Tu dois montrer que la dérivée est positive pour x >7.

Calcule h"(x)et montre que h"(x) >0 donc h'(x) croissante.

j'ai trouvé h''(x)=-(2ln x +x² -x -2)/x²

quand je resoud je trouve comme solution -1 et 2 ce qui n'est pas possible

La dérivée seconde est fausse, rectifie le calcul.
h'(x) = (xln x - 2ln x -2-x)/x
h'(x) = lnx - 2lnx/x - 2/x - 1

Calcule h"(x)

h''(x)=1/x - (2lnx-2)/x² -2/x²
⇔( x²-2xln x-2x-2x-2x²)/x+x²
⇔( -x²-4x-2xlnx)/x+x²
⇔-x-4-2ln x/x²

h'(x) = lnx - 2lnx/x - 2/x - 1
h"(x) = 1/x -(2-2lnx)/x² +2/x²
= 1/x + 2lnx/x²

Pour x > 7, h"(x) .......

pour x>7 h''(x) strictement positive et decroissante et x≠0

Pour x > 7; h"(x) >0, donc h'(x) croissante.
calcule h'(7) et h(7)

h'(7)=0.104 et h(7)=5.94

Refais le calcul pour h(7)

a oui petite erreur de calcul h(7)=-8.05