suites implicites

Bonsoir,

J'ai un petit problème à la 2ème question:

On considère la fonction f définie sur R par f(x)= x/x²+x+1

Etudier les variations:

f'(x)=(x-1)(x+1)/(x²+x+1)²

x| -00 -1 1 +00

f'(x)|- 0 + 0 -

f(x)| 0 déc. -1 crois 1/3 déc 0

2.a Montrer que pour tout entier naturel n, la double inégalité 0≤Un≤1/(n+1)
b En déduire que la suite (Un) est convergente et donner sa limite
Je n'arrive pas à démontrer l'inégalité pouvez vous me donner une piste svp??
Merci d'avance pour votre aide

Bonsoir,

Il manque un moins à la dérivée.
Quelle est la relation pour Un ?
Tu dois utiliser le résultat obtenu au 1.

f'(x)=(x²+x+1)-x(2x+1)/(x²+x+1)²
= -x²+1/(x²+x+1)²
=(1-x)(1+x)/(x²+x+1)²
NON??

2.démonstration par récurrence:

Pn: 0≤Un≤1/(n+1)

Initialisation: n=0; 0≤Uo≤1
Hérédité: On suppose qu'il existe un certain n tel que 0≤Un≤1/(n+1) et montrons que cette proposition est vraie pour n+1 i.e :
0≤Un+1≤1/(n+2)

0≤Un+1≤1/(n+2)
0≤f(Un)≤1/(n+2)
0≤Un/(Un²+Un+1)≤1/(n+2)

Mais ensuite je ne sais pas comment faire
Merci de votre aide

La dérivée est juste.

Je suppose que $U_n$ = n/(n²+n+1)

Quel que soit x, f(x) ≥0, soit Un > 0
(n²+n+1)/n = ......

1/Un
Comment vous faites pour trouver ça? vous partez d'où?

Pour trouver quoi ?

pourquoi vous me demandez:(n²+n+1)/n

je cherche un encadrement de (n²+n+1)/n pour en déduire un encadrement de
1/[(n²+n+1)/n]

pourquoi on ne ferait pas 0≤Un≤1/n+1
f(0)≤f(Un)≤f(1/n+1)
0≤Un+1≤(n+1)/(n²+3n+3)
0≤Un+1≤(n+1)/(n+2)
Or (n+1)/(n+2)>1/n+2
donc 0≤Un+1≤1/(n+2)
La relation de récurrence est vérifiée, non?

Comment est définie la suite $U_n$ ?

Comment tu passes de
0≤Un+1≤(n+1)/(n²+3n+3) à
0≤Un+1≤(n+1)/(n+2) ?

Elle est juste définie par la relation Un+1 = f(Un)
Mais on s'en fiche puisqu'on le démontre par récurrence!
non je me suis plantée : c'est faux pour le calcul!

f(1/n+1)= (1/n+1)/((1/n+1)²+(1/n+1)+1)=(n+1)/(n+2+(n+1)²)< 1/(n+2)

Le passage :
(n+1)/(n+2+(n+1)²)< 1/(n+2)
est un peu rapide
mais c'est juste.

d'accord merci
j'ai encore quelques petites questions:
b. En déduire que la suite (Un) est convergente et donner sa limite
Sur [0, 1/n+1] la suite est croissante et majorée donc elle converge vers l. f(l)=l/(l²+l+1)
1-1/(l²+l+1)=0
l²+l=0
l(l+1)=0
l=0 ou l=-1
donc l=0 non??
3.a Vérifier que $1/(U_{k+1}$ = $U$ _k $1+1/U_k$
=(Uk²+Uk+1)/Uk
Mais ensuite je ne trouve pas!!

Un ≥0, donc l = 0

Ecris (Uk²+Uk+1)/Uk avec trois rapports.

ok c'est bon j'ai compris merci^^

3.bEn déduire, en utilisant également la question 2a que pour tout n ≥1
1/(Un)≤n+1+∑( de k=1 à k=n) 1/k

Je comprends bien la première partie de l'inégalité , on passe par l'inverse mais après je ne comprend pas comment on trouve : ∑( de k=1 à k=n) 1/k

3.c Montrer que pour tt entier naturel n supérieur ou égal à1
∑( de k=1 à k=n) 1/k≤ ln n+1

Ecris la relation de
$1/U_n$
puis $1/U_{n-1}$
puis $1/U_n$ en fonction de $U_{n-2}$

1/Un= $U$ {n-1} $1+1/U</em>{n-1}$
$1/U_{n-1}$ = $U$ {n-2} $1+1/U</em>{n-2}$
$1/U_{n+1}$ <1/Un< $1/U_{n-1}$
= Un+1+1/Un< $U$ {n-1} $1+1/U</em>{n-1}$ < $U$ {n-2} $1+1/U</em>{n-2}$
Comme cela?

1/Un= Un-1+1+1/Un-1
1/Un-1= Un-2+1+1/Un-2
1/Un-2 = ...
soit
1/Un= Un-1+1+Un-2+1+1/Un-2
1/Un = $U_{n-1}$ + $U_{n-2}$ +2 + 1/Un-2

Si tu continues
1/Un = ...

ah d'accord merci j'ai compris^^

c. Montrer que pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 ,∑( k=1 à n) 1/k ≤ln n +1
Je ne vois pas comment on peut obtenir du ln??

Fais une démonstration par récurrence.

oki merci
pour k=1
1≤1
on suppose que pour un certain entier naturel n tel que Pn est vraie et montrons que pour n+1 tel que Pn+1 est vraie

∑1/n≤lnn+1
après je bugg!!

Démontre la relation au rang n+1.

c'est ce que je veux faire mais il faut bien que je parte de l'inéquation au rang n!