Fonction et suite : exercice de math spé

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Bonjour,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
1 a) Calcule la dérivée, puis étudie les variations.

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pour la dérivée je trouve f'(x) = 1- $1x\frac{1}{x}$ c'est juste ?

La dérivée est juste.
Réduis son expression au même dénominateur, puis cherche son signe pour x > 0.

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Juste en partie :
Donc f'(x)>0 sur ]1;+∞[ et f'(x)<0 sur ]0;1]
f(x) croissante sur ]1;+∞[ et décroissante sur ]0;1].

Il reste à chercher les limites de f.

Les limites ? pourquoi ?

Pour pouvoir déduire Un≥1, il faut montrer que f(x) ≥1.

Pour le sens de variation,
si x compris entre 0 et 1, la fonction f décroit de ...... à ......
si x ....

Je comprend pas trop ..

Si tu construis le tableau de variation.
Pour x variant sur l'intervalle ]0;1], f(x) varie de ......
pour x variant sur l'intervalle [1; +∞[, f(x) varie de ....

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Pour x variant sur l'intervalle ]0;1], f(x) varie de -∞ à 1-ln1 = 1 et
pour x variant sur l'intervalle [1; +∞[, f(x) varie de 1 à +∞ .

Conclusion pour x variant sur l'intervalle ]0 ; +∞[, f(x) ≥ 1

d'accord .

$U_{n+1}$ = $f(U_n$ ) = ....
$U_{n+1}$ - $U_n$ = ....

donc Un+1 - Un = F(Un) - Un ?

Remplace $f(U_n$ ) par son expression.

f(Un) = x-lnx ?

Si f(x) = x - lnx
$f(U_n$ ) = ....

f(Un) = Un - ln Un ?

Oui

donc y resterai -ln Un ?

Oui : - $lnU_n$
donc comme $U_n$ ≥1,
$U_{n+1}$ - $U_n$ est un nombre positif ou négatif ?

Bah comment je peux savoir ?

bah négatif vu que ça donne -ln Un

Négatif car pour x ≥1, lnx ≥0; donc - lnx ≤ 0
donc la suite est décroissante.

D'accord
Merci beaucoup pour votre aide