Etude d'une fonction logarithme



  • Bonjour,
    je n'arrive pas à faire cet exercice :

    Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= x(lnx-1)

    1. a) Déterminer la limite de f en +∞
      b) Soit h la foncton définie sur ]0;+∞[ par h(x)= xlnx Déterminer la limite de f en 0

    2. a) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[ on a f'(x)= lnx
      b) Etudier le signe de f'(x) sur ]0;+∞[ et en déduire le tableau de variation de f sur ]0;+∞[

    3. a) Démontrer que la fonction H définie sur ]0;+∞[ par H(x)=[1/2 (x²lnx) -1/4 (x²)] est une primitive sur ]0;+∞[ de la fonction h définie à la question 1) b)
      b) En déduire une primitive F de f

    Pour la question 1) a) la limite quand x tend vers +∞ de x est +∞ et la limite quand lnx-1 tend vers +∞ est +∞ donc limite quand x tend vers +∞ de f(x) est +∞

    1. b) f(x)= x(lnx-1)= xlnx - x
      la limite quand x tend vers 0 de xlnx est 0 et la limite quand x tend vers 0 de -x est 0
      Donc la limite de f en 0 est 0

    2. a) je trouve bien que f'(x)=lnx
      b) sur [0;1] f'(x)<0
      sur [1;+∞[ f'(x)>0
      Donc f est décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞[

    Est-ce que j'ai juste?
    Merci d'avance


  • Modérateurs

    Bonjour,

    C'est juste.



  • Ok merci 😄
    par contre je bloque totalement pour la question 3)
    Pourriez-vous m'aider svp


  • Modérateurs

    Question 3)

    Calcule H' la dérivée de la fonction H.



  • H'(x)= 1/2 × 2x × 1/x - 1/4 × 2x
    H'(x)= 1 - 0,5x
    H'(x)= 0,5x

    C'est bon?


  • Modérateurs

    Non,

    Pour x²lnx, c'est de la forme UxV.



  • A oui donc j'ai refais et je trouve bien H'(x)=xlnx

    Pour le 3)b) f(x)= xlnx - x= h(x) - x
    Donc xlnx - x est donc une primitive de f

    C'est ca ?


  • Modérateurs

    Non

    Pour la primitive de f,
    tu additionnes une primitive de xlnx avec une primitive de -x cra f(x) = xlnx - x.



  • f(x)= h(x) - x
    F(x)= H(x) - X
    F(x)= [1/2 (x²lnx) -1/4 (x²) - 1/2 (x²)]
    F(x)= [1/2 (x²lnx) -3/4 (x²)]

    C'est bon?


  • Modérateurs

    C'est juste.



  • Ok merci beaucoup pour votre aide 😄


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