Etude d'une fonction logarithme

Bonjour,
je n'arrive pas à faire cet exercice :

Soit f la fonction définie sur ]0;+∞[ par f(x)= x(lnx-1)

a) Déterminer la limite de f en +∞
b) Soit h la foncton définie sur ]0;+∞[ par h(x)= xlnx Déterminer la limite de f en 0
a) Montrer que pour tout x de ]0;+∞[ on a f'(x)= lnx
b) Etudier le signe de f'(x) sur ]0;+∞[ et en déduire le tableau de variation de f sur ]0;+∞[
a) Démontrer que la fonction H définie sur ]0;+∞[ par H(x)=[1/2 (x²lnx) -1/4 (x²)] est une primitive sur ]0;+∞[ de la fonction h définie à la question 1) b)
b) En déduire une primitive F de f

Pour la question 1) a) la limite quand x tend vers +∞ de x est +∞ et la limite quand lnx-1 tend vers +∞ est +∞ donc limite quand x tend vers +∞ de f(x) est +∞

b) f(x)= x(lnx-1)= xlnx - x
la limite quand x tend vers 0 de xlnx est 0 et la limite quand x tend vers 0 de -x est 0
Donc la limite de f en 0 est 0
a) je trouve bien que f'(x)=lnx
b) sur [0;1] f'(x)<0
sur [1;+∞[ f'(x)>0
Donc f est décroissante sur [0;1] et croissante sur [1;+∞[

Est-ce que j'ai juste?
Merci d'avance

Bonjour,

C'est juste.

Ok merci
par contre je bloque totalement pour la question 3)
Pourriez-vous m'aider svp

Question 3)

Calcule H' la dérivée de la fonction H.

H'(x)= 1/2 × 2x × 1/x - 1/4 × 2x
H'(x)= 1 - 0,5x
H'(x)= 0,5x

C'est bon?

Non,

Pour x²lnx, c'est de la forme UxV.

A oui donc j'ai refais et je trouve bien H'(x)=xlnx

Pour le 3)b) f(x)= xlnx - x= h(x) - x
Donc xlnx - x est donc une primitive de f

C'est ca ?

Non

Pour la primitive de f,
tu additionnes une primitive de xlnx avec une primitive de -x cra f(x) = xlnx - x.

f(x)= h(x) - x
F(x)= H(x) - X
F(x)= [1/2 (x²lnx) -1/4 (x²) - 1/2 (x²)]
F(x)= [1/2 (x²lnx) -3/4 (x²)]

C'est bon?

C'est juste.

Ok merci beaucoup pour votre aide