DM sur les graphes.

Bonjour, voilà je suis en terminale es spécialité Maths et je bloque sur une question de mon DM ... ils demande d'écrire un système d'équation d'une droite .. comment faire ? Dans les questions précédentes on a construit un parallèpipède retangle ABCDOFGH dans un repère (o,i,j,k) défini par vecteur OH=3i , vecteur OF=4j , vecteur OA=3k

il fallait ensuite chercher l'équation d'un plan passant par A (0,0,3), H(3,0,0) et F(0,4,0)
que j'ai trouvé sans problème,
Puis ils demande l'équation d'un plan passant par B D et G, que j'ai aussi réussie a faire , et enfin ils demande un système d'équation cartésienne de la droite OC et la .. je bloque complètement !! Donc voilà si quelqu'un pouvait m'aider avant lundi ce serait vraiment super ... =$. Merci !!

Bonjour,

La droite (OC) appartient à quels plans ?

Et bien chez moi elle est une diagonale du parralèpipède, O(0,0,0) et C(3, 4, 3), Le point C est à l'opposé du point 0.

Donc le point C appartient aux plans (OCG) et au plan (OCF)
Ecris les équations de ces deux plans.

J'ai essayé de trouver l'équation du plan OCG mais là aussi je bloque,
O(0,0,0) C(3,4,3) et G(3,4,0) l'équation est de la forme ax+by+cz+d=O
O appartient à (OCG) <=> d=O
C appartient à (OCG) <=> 3a+4b+3y+d=0
G appartient à (OCG) <=> 3a+4b+d=0

d=o (1)
3a+4b+3y+d=0 (2)
3a+4b+d=0 (3)

<=>
d=0 (1)
3a+4b+3c+d=0 (2)
-3a-4b-3c-d=0 -1 x (3)<=> (4)

<=>
d=0 (1)
3c=0 (2) + (4) et là ce n'est pas possible si ?
3a+4b+d=0 (3)

d=0 (1)
3a+4b+3c+d=0 (2)
3a+4b+d=0 (3)

d=0 (1)
3a+4b+3c=0 (2)
3a+4b=0 (3) soit c = 0

Reste à choisir un autre point du plan A par exemple.

Vous voulez dire prendre le plan OCA au lieu de OCG ?

Une fois que les équations des plans sont trouvées il faut faire comment pour arriver à l'équation cartésienne ?

Tu prends le plan OCGA.

L'équation de la droite correspond à l'équation de deux plans contenant la droite.

Pour trouver le systeme d'équation de (OC) ceci n'est-il pas possible :

(Je ne mets pas les flèches sur les vecteurs mais je vous les signale par . Ex. vecteur OC = OC)
De même, je mets les coordonnées des vecteurs à la suite, comme celles d’un point et non, comme le voudrait le système de notation, au dessus les unes des autres. Ex. OC* (3,4,3)

Soit M (x,y,z) un point de (OC). Les vecteurs OC* et CM sont donc colinéaires.
Les coordonnées de OC* et CM sont :
OC* (3,4,3)
OM* (x,y,z)
Deux vecteurs u*(x,y,z) et v*(x’,y’,z’) sont colinéaires si :
xy’ - yx’ = 0
xz’ - zx’ = 0
yz’ - zy’ = 0
pour OC* et OM*, on peut donc écrire le système suivant
3y – 4x = 0 (1)
3z – 3x = 0 (2)
4z – 3y = 0 (3)

Soit, en combinant (1) - (2) et (2) - (3)
3y – 4x - 3z + 3x =0
3z – 3x - 4z + 3y = 0

-x + 3y – 3z = 0 ou x – 3y + 3z = 0
-3x + 3y – z = 0 3x – 3y + z = 0

est-ce juste ? =$

Ah et d'ailleurs j'ai failli oublier, il y un aspect que j'ai omis de dire et qui à mon avis à son importance ..

Dans le devoir nous avions à trouver l'équation des plans (AHF) et (BDG), juste avant la question du systeme cartesien, j'ai respectivement trouvé 4x+3y+4z-12=0 et 4x+3y=4z-24=0
De plus sur mon graphique je vois très clairement que la droite (OC) coupe ces deux plans ..

Je pense que la question du systeme cartesien de (OC) découle ou est en rapport avec les deux équations de plans que j'ai du trouver juste avant ...

La méthode avec le produit vectoriel est plus rapide et te donne directement les équations des plans.

Holala ce devoir m'embête.. j'y comprend riien .. =(.

Le soucis c'est que trouver l'équation du plan OCGA je ne sait pas faire .. du coup je me trouve coincer...

J'ai trouvé sur un site que si l'on a une droite qui coupe deux plans P et P', qui ont pour équations ax+by+cz+d=0 et a'x+b'y+c'z+d'=0 et bien on pouvait appliquer une formule qui permettait de trouver l'équatiopn cartésienne de cette droite :

(ax+by+cz+d=O)² + (a'x+b'y+c'z+d'=0 )² =0

Si cela était vrai ce serait super .. j'ai les équations des plans AHF et BDG et la droite OC coupent ces deux plans, je n'aurait qu'à remplacer ..

La droite doit appartenir aux deux plans.
Si tu prends les plans :
3y – 4x = 0 (1)
3z – 3x = 0 (2)

Quelle est la droite intersection de ces deux plans ?

Et bien OH ? ?

Pourquoi le point H ?
les coordonnées (3;0.0) ne vérifient pas les deux équations.

Les deux plans que vous avez pris étaient bien OHGF et OHDA non ? =S ( ou alors je suis vmt perdue =( )

Non j'ai pris le résultat de ton calcul :
3y – 4x = 0 (1)
3z – 3x = 0 (2)

Ah oui, ben je dirais OC alors ?

Ou bien ce que je vous ai écrit plus haut est complètement faux, et il n'existe pas de droite qui vérifie ce eme ?

C'est bien la droite (OC), donc ce système est une réponse à la question.

Ha oui ? ca veut dire que j'ai bien réussie à faire cet exercice ? Pfiou, ça fait une semaine que je bûchais là -dessus j'ai cru que je n'y arriverai jamais !!

Il n'y aucune erreur dans ma rédaction ? =$

Merci beaucoup pour votre aide =D

Non,

Pas d'erreur dans la rédaction.
Ecris que les parties correspondant aux questions.

D'accord, si cela ne vous dérange pas, j'aurais encore besoin de votre aide =$.
Pour la suite de l'exercice ils demande de trouver les coordonnées des point M et N intersection de OC avec les plan trouvée en haut; AHF et BDG ... Faut-il faire un systeme avec l'équation de OC trouvé juste au dessus et l'équation de AHF pour trouver M ?

Oui,

Ecris et résous le système.

Le systeme sera

4x+3y+4z-12=0
3y-4x=0

??

Le système :
4x+3y+4z-12=0
3y-4x=0
3z-3x = 0

A résoudre

Je n'arrive pas à le résoudre, c'est possible de le faire ?

Bonjour,

4x+3y+4z-12=0
3y-4x=0 donne y = 4x/3
3z-3x = 0 donne z = x

Remplace y et z par leur expression en fonction de x dans la première équation.
Puis calcule les coordonnées du point.

Ha oui, punaise je suis bête !!

J'ai trouvé :
4x+3y+4z-12=0
<=> 4x+3*(4x/3)-4x-12=0
<=> 4x+4x+4x-12=0
<=>12x-12=0
<=> x=1

C'est juste ?

Ensuite on remplace dans les plans:

3y-4x=0 <=> 3y=4 <=> y=4/3

3z-3x=0 <=> 3z=3<=> z=1

Du coup les coordonées du point M seront (1;4/3;1)
et celles du point N seront (je ne sais plus :s) ? =S

Applique le même raisonnement pour le point N.

Mais si l'on fait le même calcul on trouvera les même coordonées ce qui est impossible ?

Non nn je nai trien dit .. ^ désolé

on aura:

4x+3y+4z-24=0
3y-4x=0 <=> y=(4x/3)
3z-3x=0 <=> z= x

<=>4x+3 (4x/3) + 4x-24=0

<=> 12x-24=0

<=> x=2

Les coordonées de N seront (2;4/3;2)

Tout est juste pour les coordonées de M et N ?

Ha et j'ai encore une question .. vous avez dit que dans ma démonstration du système d'équation cartésienne de oc.. je ne devais écrire que ce qui était nécessaire.. qu'ai je mis de trop ? Pourquoi n'utilise t'on que 3y-4x=0 (1) et 3z-3x=0 (2) et non pas (3) ??

C'est juste.

On utilise que l'équation de deux plans, car une droite est l'intersection de deux plans.