Démontrer qu'une suite est minorée et étudier son sens de variation

[herania]

Bonjour à tous !!
quelqu'un pourrait il m'aider pour l'exercice suivant svp ??
Je suis vraiment bloquée dès la premiere question !!

soit la suite u(n) définie par u(0)> -4/3 et pour tout entier naturel n ,
u(n+1) = $sqrt$(4+ 3u(n))

on a tracé par ailleurs la courbe Cf de la fonction f(x)=$sqrt$(4+3x) et la droite d d'équation y=x (J'ai pas trop pourquoi ils font ça mais bon !!!)
les coordonnées du pt d'intersection de C et d est (4;4)

On suppose maintenant que u(0)=6
--Démontrez que la suite u(n) est minorée.
Je ne vois pas du tout comment m'y prendre. Je pensais à un raisonnement par récurrence mais....ça ne donne rien !!
A mon avis le minorant vaut 4 mais comment le prouver ??

--Etudiez les variations de la suite (u(n))
Je crois qu'elle est décroissante.
J'ai utilisé pour cela une démonstration par récurrence
u(0)=6et u(1)=$sqrt$22)
dou u(0)>u(1)
on suppose u(n)>u(n+1)
on souhaite u(n+1)> u(n+2)
u(n)>u(n+1)
dou $sqrt$4+3(un))> $sqrt$ 4+ 3 (u(n+1)))
ie u(n+1) > u(n+2)
donc u(n)> u(n+1)
la suite est dc décroissante

--déduisez en que la suite est convergente et calculez sa limite
dapres 1) elle est minorée
dapre 2) elle est décroissante dc majorée
donc la suite est bornée donc convergente
et j'ai trouvé limite= 4
(ok pour cette question j'ai réussi a justifier correctment)

--démontrez que ce résultat est vrai pour tout u(0) > 4
Alors là je suis de nouveau bloquée ... je ne vois pas dutout comment m'y prendre !!

merci d'avance pour votre aide
A bientot

[Zauctore]

La "rabattement" via la droite y=x est un procédé commode pour obtenir une représentation graphique des premiers termes d'une suite récurrente. On obtient un escalier, un escargot... ce qui peut donner des indications quant au comportement de la suite !

Par essais sur les premiers termes, ta conjecture de minoration est fondée, puisqu'en effet :
u(1) = 4,69... u(2) = 4,25... u(3) = 4,09... u(4) = 4,03... u(5) = 4,01...
Prouvons-le pour tout n.
Le recours à la récurrence s'impose :
supposons que u(n) > 4 pour un certain n
alors 4 + 3u(n) > 16
d'où u(n+1) > 4, par croissance de la racine carrée.
Ceci démontre que la suite (u(n)) est minorée par 4 lorsque u(0) = 6.