Quadrique

Bonsoir, j'ai un petit problème avec cet exercice. Merci de votre aide par avance.

Enoncé

Soit q la forme quadratique definie par q(x,y,z)= y² + 2xz

1/a/ Pour tout couple de réels (x,z), donner une relation entre xz, (x+z)² et (x-z)².

b/ Ecrire q comme combinaison linéaire de 3 carrés.

c/ Déterminer une transformation orthogonale direct : $ϕ\phi$ :(x,y,z)→(X,Y,Z) telle que q(x,y,z) = aX² + bY² - aZ² où a et b sont des constantes positives que l'on précisera. Quelle est la nature de l'application $ϕ\phi$ ?

2/ On considère la quadrique S1 d'équation y² + 2xz - 2x = 0. Quelle est la nature de S1 ? Préciser le centre de cette quadrique.

3/ On note P1 l'intersection entre S1 et le plan xOy. Quelle est la nature de P1 ?

4/Donner une équation cartésienne du cône C1 ayant pour sommet le point de coordonnées (1,1,1), s'appuyant sur P1.

5/ Soit A le point de coordonnées $x_A$ , $y_A$ , $z_A$ ), $z_A$ ≠0. On désigne $C_A$ le cône de sommet A et s'appuyant sur P1.

a/ Donner une équation cartésienne de $C_A$ .
b/ A quelle condition sur $x_A$ , $y_A$ , $z_A$ ) le point B de coordonnées (1,1,1) appartient-il à $C_A$ ?

Réponse

1/a/ xz = 1/4[(x+z)²-(x-z)²]
b/ q(x,y,z) = y² + 1/2[(x+z)²-(x-z)²]

mais je bloque pour la question c/

Pour la 2/ je pense que je dois utiliser la question précédente mais je vois pas comment faire =s.

Pour la 3/ Je remplace z=0.

Pour la suite, je n'y arrive pas non plus.

Je vous remercie de votre aide.

Bonjour,

Pour la transformation utilise le résultat du b) et cherche X, Y et Z en fonction de x, y et z
Y = y ; b = 1
....

Ah donc a=1/4 et X²=(x+z)² et Z²=(x-z)² ?

Oui, tu peux écrire aussi :
X = x + z et Y = x - z

Pourrais-tu m'aider pour le reste stp je n'y arrive pas =$