Représentation graphique de fonction

Bonjour!
En réalité je ne suis plus en TS mais en 2ème année de classe prépa HEC mais ma question porte sur le programme de terminale, je n'arrive plus à retrouver mes vieux cours, et je pense que ça peut servir à d'autre personnes.
Je souhaiterais un récapitulatif des moyens pour représenter graphiquement une fonction. Ma prof utilise souvent des dérivées, puis calcule les limites pour en déduire des tangentes horizontales ou verticales mais je ne comprends pas précisément quelle est la technique. Idem pour calculer des asymptotes
Pourriez vous m'aider? Les concours approchant à grands pas, j'espère que oui!
Sinon, pourriez vous m'indiquer un site où je puisse trouver ces informations?
En vous remerciant d'avance,
Cordialement

Bonjour,
Le plus simple serait de nous montrer des exemples d'exercices qui te posent problème ( un seul à la fois ).

Ok mais la ce n'est plus le niveau TS!
Dernier ex en date: on cherchait à représenter l'ensemble: E={(x,y)∈ℜ²/ x²/a² + y²/b² = 1} où (a,b) deux réels strictement positifs.
Mais prof montre que l'es axes 0x et 0y sont axes de symétrie (jusque la ça va), puis on étudie la fonction h(x)=b.(-x/a²).1/√(1-x²/a²) ce qui nous permet de représenter l'ensemble sur le quart positif du plan et de compléter par symétrie.
Donc, comment représenter cette fonction? On calcule la dérivée pour avoir le sens de variation, OK, mais après comment déterminer que la courbe présente une tangente horizontale en b et une verticale en a?
Merci d'avance, j'espère que vous pourrez m'aider.

Bonjour,
Avant tout vérifie l'énoncé pour la fonction h :
x²/a² + y²/b² = 1 donc
y²/b² = 1-x²/a²
y² = b²(1 - x²/a²)
Et tout étant positif : y = b√(1 - x²/a²) ?

Oui c'est bien cela

Oui mais dans ton énoncé il y a un "(-x/a²)" parasite , et en plus la racine carrée figure en dénominateur:
Citation
h(x)=b.(-x/a²).1/√(1-x²/a²)
Contrôle l'énoncé : est-ce celui que tu as donné ou bien
h(x) = b√(1 - x²/a²) ?

Ah pardon la fonction c'est celle que vous avez donné, moi je me suis trompée, j'ai donné la dérivée

Ah. Mais je crois que c'est b² en tête au lieu de b.

Moi je ne pense pas puisqu'on prend la racine carrée non?

Oui, pardon : c'est b.
Ca ne change rien, puisque b est positif, au fait que h soit décroissante sur [0 ; a].

Alors pour la tangente horizontale, c'est facile : h est dérivable en 0, il suffit de calculer h'(0).

Mais je ne comprends pas pourquoi? C'est un théorème? Ca me rappelle vaguement quelque chose mais je dois admettre que c'est plutôt loin!

Oui, c'est un théorème lié à la nature d'une tangente à une courbe ( pas trop compliquée quand même
Si la fonction h est dérivable en $x_0$ , le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x_0$ est h' $x_0$ ).
Tu dois donc ici calculer h'(0) puisqu'il s'agit du point d'abscisse $x_0$ = 0.

ah oui ok merci
désolée de poser des questions bêtes mais si ça tombe aux concours, ça peut aider!

Aucune question n'est bête.
L'important est de comprendre.
Tu as calculé h'(0) ? quelle est ta réponse ?

Ok pr le point d'abscisse 0
Mais pour le point a, la limite aut -∞, ça veut donc dire que le tangente est verticale?

Pardon, j'ai posté une question avant de répondre.
h'50)=0 donc tangente horizontale

Là c'est moins simple car h'
n'est pasdéfinie en a : le dénominateur serait nul.
Il faut donc marcher sur des oeufs.
Tu parles d'une limite : celle de h'(x) quand x tend vers a ?

oui quand x tend vers a par valeur inférieure

Juste une confirmation à propos des asymptotes, si ça ne vous dérange pas.
Lorsque h(x)-(ax+b) tend vers 0 quand x tend vers +∞, alors on en conclue que la droite affine est asymptote à la courbe représentative de h en +∞. Puis la détermination du signe de la différence permet de savoir si la courbe est sur ou sous l'asymptote.
Est ce bien cela?

Il y a une faute de raisonnement : fais attention c'est assez subtil.
Le théorème que je t'ai rappelé exige que h soit dérivable au point considéré.
Or ici, h' n'existe pas pour x=a.
Il y a des théorèmes qui, sous certaines conditions, permettent d'éviter ce qui va suivre, mais je doute qu'ils soient à ton programme.
Il faut donc revenir à la définition directe de la dérivée d'une fonction en un point : h est dérivable en x0 si le quotient [h(x) - h(x0)]/(x - x0) admet une limite lorsque x tend vers x0 ( on peut admettre seulement si besoin les limites à gauche ou à droite ).
Encore faut-il que cette limite soit finie.
Dans le cas contraire ( limite infinie ) on peut quand même parler de la limite du coefficient directeur d'une sécante se rapprochant de l'éventuelle tangente.
En résumé, tu dois ici non pas chercher la limite de h'(x) quand x tend vers a ( x < a ) mais la limite du quotient [h(x)-h(a)]/(x-a)

Désolé mais je dois me déconnecter.
Si ce n'est pas urgent on pourra continuer demain.
Sinon, je pense qu'Iron et Lind sont connectés. Tu peux être tranquille : ce sont des " épées ", et il va certainement en venir d'autres.

d'accord, donc lorsque la fonction n'est pas dérivable au point considéré, on étudie la limite du taux d'accroissement.
Ma prof ne détaillant pas les calculs (ça lui parait évident, à notre grand dam!) elle a uniquement noté la limite de h'(x) , sans expliquer comment elle s'en servait.
Par contre, lorsque je calcule le taux d'accroissement en a, je ne vois pas comment trouver la limite de ce quotient.

OK merci beaucoup, je me reconnecterai aussi demain, j'ai plein d'autres super exos pour me tenir compagnie!
Bonne soirée

Juste un mot avant de ma faire agonir par des intervenants plus calés que moi.
Citation
Ma prof ne détaillant pas les calculs (ça lui parait évident, à notre grand dam!) elle a uniquement noté la limite de h'(x) , sans expliquer comment elle s'en servait.Ta prof ( tu veux sans doute dire ton professeur ) a raison.
Les deux méthodes sont identiques .
Ayant été jadis enseignant mais ayant quitté ce métier depuis des temps immémoriaux, j'avoue à ma grande honte ne pas être toujours au courant de l'évolution des programmes. Jadis ils étaient beaucoup plus costauds en géométrie mais beaucoup moins en analyse.
L'équivalence des deux méthodes est basée sur un théorème simple que tu connais ( auquel cas tu peux chercher la limite de f'(x) ) ou que tu ne connais pas ( auquel cas tu dois te résoudre à chercher la limite du taux d'accroissement ).
Il s'agit du théorème des accroissements finis.
La méthode utilisée par ton professeur est une conséquence immédiate de ce théorème : ça ne coûte rien de le dire.
Voilà, c'est tout pour le moment.
Bon courage.

Nouchka
Juste une confirmation à propos des asymptotes, si ça ne vous dérange pas.
Lorsque h(x)-(ax+b) tend vers 0 quand x tend vers +∞, alors on en conclue que la droite affine est asymptote à la courbe représentative de h en +∞. Puis la détermination du signe de la différence permet de savoir si la courbe est sur ou sous l'asymptote.
Est ce bien cela?
Je n'avais pas vu ce message. Oui, c'est bien ça.
Souvent, l'équation ( y=ax+b) de l'asymptote est fournie, sinon c'est à toi de la trouver.

D'accord, merci.
Donc c'est mon cher ami le théorème des accroissements finis qu'il faut utiliser, mais je comprend que cela revient au même.
Pensez vous que nous avons fait le tour pour la représentation d'une fonction? Limites, tangentes, asymptote, il y a en plus les dérivées secondes pour savoir si la fonction est convexe ou concave.

Ce n'est pas directement le théorème : c'est une conséquence de ce théorème qui autorise à chercher la limite de f'(x) quand x tend vers a.
On n'a jamais fait le tour complet d'un sujet.
Si tu as des questions qui te tracassent, j'essaierai d'y répondre.