Suite numérique Terminale S

BONJOUR,
j'ai un exercice à faire pour la rentrée mais j'ai du mal à commencer, pourriez vous me donner des pistes surtout pour la ROC .
MERCI

Exercice en 2 parties:

ROC:Soit $a_n$ ) une suite numérique et convergente vers le réel α , avec n∈ aux entiers naturel N.
En utilisant la définition de lim de n tend vers +∞ $a_n$ =α
et en raisonnat par l'absurde, montrer que pour tout n∈N, $a_n$ ≥α

Application:
Soient u une suite croissnte et v une suite décroissante telles que lim quand n tend vers +∞ de $u_n$ - $v_n$ ) = 0
On pose pour tout entier naturel n: $W$ _n $v_n$ - $u_n$
Montrer que la suite W est décroissante, en déduire que pour tout n∈N, $U_n$ ≤ $v_n$ puis que u et v convergent
On note l=limite quand n tend vers +∞ de $u_n$ et l'= limite quand n tend vers +∞ de $v_n$
Montrer que l=l'

A mon avis il manque un mot dans ta ROC, tel que la suite est "décroissante".

Sinon $a_0$ = 2 et $a_{n }$ = 5 - 1/n est une suite convergente mais toujours inférieure à sa limite....

En effet, il manque le mot "décroissante", "une suite numérique et décroissante"
merci

Je suis un peu rouillé en math mais voilà ce que cela donne dans l'idée.
(a pour la limite)

Si on a un terme de la suite plus petit que la limite, et que la suite est décroissante, alors nous ne pourrons pas nous rapprocher plus (+) de la limite de la suite, ce qui contredit la définition de limite de la suite...

Absurde de la proposition : il existe un n0 tel que $a_{n0}$ < a
La suite est décroissante, donc pour tout n>n0, $a_n$ < $a_{n0}$

Avec les 2 inéquations, on a (...) "a - $a_{n0}$ > 0" et "a - $a_n$ > a - $a_{n0}$ > 0" pour les n > n0

On trouve donc qu'il existe une valeur epsilon positive stricte (a - $a_{n0}$ ) tel que pour tous les n > n0, la distance entre a et $a_n$ est supérieure à cette valeur epsilon.
Ce qui contredit la définition de limite de a (∀.... ∃ ....)

Voici pour l'idée