Etudier les variations d'une suite, montrer qu'elle converge et donner sa limite

[Prissou]

Bonjour j'ai un petit problème avec cet exercice:
On considère la suite u définie par $u_0$=2 et pour tout entier naturel n,
$u$_{n+1}$=(5u$_n$-1)/(u_n$ + 3)

Première méthode :
a) Vérifier qur, pour tout n ∈ N, $u_{n+1}$= 5 - $(16/u_n$ + 3)

b) Démontrer que pour tout n ∈N, $u_n$ est [1;2]

Dois-je étudier le sens de variation en choisisant une fonction?

c) Etablir la relation
$u$_{n+1}$-u_n$=- $(u_n$-1)²$/(u_n$+3)

En déduire le sens de variation de u.

Comment en déduire le sens de variation?

d) Démontrer que u converge et déterminer sa limite

[Zauctore]

salut

pour la b) une récurrence semble s'imposer

pour la c) étudie le signe de cette nouvelle expression (s'il est tjs négatif, alors...)

[Prissou]

Pour la b) j'ai étudier les vriations de f(x)=(5x-1)/(x+3) je trouve que c'est toujours positif et que f(1)=1 et f(2)=1.8

Donc si x∈[1;2], f(x)∈[1;1.8] donc f(x)∈[1;2]
Est-ce juste?

Et pour la c) en fait je n'arrive pas à établir la relation

[Zauctore]

1. tu veux dire toujours croissant ? attention au vocabulaireque tu emploies (et à l'intervalle sur lequel tu donnes cette réponse)

l'argument peut convenir.

2. la relation... partant de :

$u_{n+1}-u_n=\frac{5u_n-1}{u_n+3}-u_n$
il faut mettre au même dénominateur et réduire...

[Prissou]

1. Oui je voulais dire croissante

2. Ok merci j'ai trouvé on a donc u qui est décroissante

3. Pour démontrer que u convergeje dois dire qu'elle est majorée en 2 ou minorée en 1 et qu'elle est croissante donc elle converge en l.
   Pour déterminer l :
   $u_{n+1}$ = $f(u_n$)
   Si $u_n$ --> l on a $f(u_n$) --> f(l)
   d'où l = f(l) donc l = (5l - 1) / (l+ 3)
   on obtient l² - 2l + 1 = 0 d'ou l=1 donc u converge vers 1

Est-ce juste?