Etudier les variations d'une suite, montrer qu'elle converge et donner sa limite


  • P

    Bonjour j'ai un petit problème avec cet exercice:
    On considère la suite u définie par u0u_0u0=2 et pour tout entier naturel n,
    uuu_{n+1}=(5u=(5u=(5u_n−1)/(un-1)/(u_n1)/(un + 3)

    Première méthode :
    a) Vérifier qur, pour tout n ∈ N, un+1u_{n+1}un+1= 5 - (16/un(16/u_n(16/un + 3)

    b) Démontrer que pour tout n ∈N, unu_nun est [1;2]

    Dois-je étudier le sens de variation en choisisant une fonction?

    c) Etablir la relation
    uuu_{n+1}−un-u_nun=- (un(u_n(un-1)²/(un/(u_n/(un+3)

    En déduire le sens de variation de u.

    Comment en déduire le sens de variation?

    d) Démontrer que u converge et déterminer sa limite


  • Zauctore

    salut

    pour la b) une récurrence semble s'imposer

    pour la c) étudie le signe de cette nouvelle expression (s'il est tjs négatif, alors...)


  • P

    Pour la b) j'ai étudier les vriations de f(x)=(5x-1)/(x+3) je trouve que c'est toujours positif et que f(1)=1 et f(2)=1.8

    Donc si x∈[1;2], f(x)∈[1;1.8] donc f(x)∈[1;2]
    Est-ce juste?

    Et pour la c) en fait je n'arrive pas à établir la relation


  • Zauctore

    1. tu veux dire toujours croissant ? attention au vocabulaireque tu emploies (et à l'intervalle sur lequel tu donnes cette réponse)

    l'argument peut convenir.

    1. la relation... partant de :

    un+1−un=5un−1un+3−unu_{n+1} - u_n = \frac{5u_n-1}{u_n + 3} - u_nun+1un=un+35un1un
    il faut mettre au même dénominateur et réduire...


  • P

    1. Oui je voulais dire croissante

    2. Ok merci j'ai trouvé on a donc u qui est décroissante

    3. Pour démontrer que u convergeje dois dire qu'elle est majorée en 2 ou minorée en 1 et qu'elle est croissante donc elle converge en l.
      Pour déterminer l :
      un+1u_{n+1}un+1 = f(unf(u_nf(un)
      Si unu_nun --> l on a f(unf(u_nf(un) --> f(l)
      d'où l = f(l) donc l = (5l - 1) / (l+ 3)
      on obtient l² - 2l + 1 = 0 d'ou l=1 donc u converge vers 1

    Est-ce juste?


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