Exercice Fonction exponentielle

Bonjour à tous,
J'ai besoin de votre aide pour un exercice,

Soit f:x→ $ln(e^x$ +2)

a. Étudier la limite de f en -∞. En déduire que Cf admet une asymptote qu'on précisera.
b. En remarquant que x= $ln(e^x$ ), montrer que:

f(x)= x+ ln $e^x$ +2 / $e^x$ ) = x+ln (1+ $2e^{-x}$ )
et en déduire que la droite d'équation y=x est asymptote à Cf au voisinage de +∞

Soit g:x→ $ln(3e^{2x}$ +4).
En adaptant le raisonnement précédant, montrer que Cg admet deux asymptotes, l'une au voisinage de -∞, l'autre au voisinage de +∞

Moi je trouve:

lim $ln(e^x$ +2)= ln 2. Donc son asymptote est y= ln(2) au voisinage de -∞

J'attends votre aide qui me permettra d'avancer.

Bonsoir,

b) Mets $e^x$ en facteur et utilise ln(ab ) = lna + lnb.

Après plusieurs essais j'ai réussi
2. j'hésite, je pense refaire comme le 1., c'est à dire calculer la limite en - ∞ de g(x) puis la factoriser pour trouver la limite en +∞???

La question précise, en adaptant le raisonnement précédent, donc ...

Je refais la même chose pour la question 2??? Moi c'est ce que je comprends

Oui,
Tu appliques le même raisonnement en l'adaptant.

J'ai adapté le raisonnement en -∞ je trouve ln(4) mais en +∞ quand je met en facteur $e^{2x}$ , je trouve 2x +ln (3+ $4e^{-2x}$ ). Pour trouver l'asymptote oblique je fais g(x)-2x= ln( $3+4e^{-2x}$ ) mais je vois bien que sa limite n'est pas égale à 0 mais à ln(3)! Pouvez vous me dire où se trouve mon erreur??

Pas d'erreur,
L'asymptote est 2x + ln3

Mais comment, je ne vois pas comment vous trouvez cela???

Si x tend vers +∞ ;
$ln(3e^{2x}$ +4) voisin de $ln(3e^{2x}$ ) = 2x + ln3

Je comprends mieux maintenant, mais pourquoi le 4 il disparait???

Si x grand, $3e^{2x}$ +4 est voisin de $3e^{2x}$

Bonjour Cookie,

Citation

montrer que: f(x)= x+ ln (ex +2 / ex) = x+ln (1+ 2e-x)
Si ça te facilite la compréhension, tu peux aussi mettre g(x) sous la forme g(x) = (ax + b) + ρ(x) comme tu l’as fait pour la première question :

g(x) = $ln(3e^{2x}$ + 4)
= ln $3e^{2x}$ (1 + $4/(3e^{2x}$ ) )]
= ln $3e^{2x}$ ) + ln [1 + $4/(3e^{2x}$ ) ] car ln(ab) = ln a + lnb
= ln3 + $ln(e^{2x}$ ) + ln [1 + $4/(3e^{2x}$ ) ] pour la même raison
= ln3 + 2x + ln [1 + $4/(3e^{2x}$ ) ]

Au voisinage de +∞, x → $3e^{2x}$ tend vers +∞, x → $4/(3e^{2x}$ ) tend vers 0, x → [1 + $4/(3e^{2x}$ )] tend vers 1
et enfin x → ln [1 + $4/(3e^{2x}$ )] tend vers 0

g(x) est donc de la forme g(x) = 2x + ln3 + ρ(x) avec

lim ρ(x) = 0 la droite d’équation y = 2x + ln3 est asymptote oblique à Cg en +∞
x → + ∞