Émettre une conjecture sur la limite d'une suite puis la démontrer



  • Bonjour,

    J'ai un exercice de maths à faire mais je suis bloquée sur une question :

    Soit (Un) une suite définie pour tout entier n≥1 par Un=2^n/n²

    1- Calculer plusieurs termes de la suite (Un) et émettre une conjecture sur sa limite.

    2- On pose Vn= Un+1/Un, pour tout n≥1.
    Exprimer Vn en fonction de n.
    Démontrer que la suite (Vn) converge vers 2.
    En déduire que Vn > 1,5 à partir d'un certain rang p.

    3- On pose Wn= Un/1,5^n, pour tout np
    Démontrer que la suite (Wn) est croissante.
    En déduire que Un1,5^n-p Up
    Déterminer la limite de la suite Un

    Question 1: La limite de la suite Un semble tendre vers +, elle semble divergente

    Question 2: Vn= Un+1/Un = 2n²/(n+1)²= [2/(n+1)] x [n²/(n+1)]
    Et j'arrive pas ensuite à reteomber sur la bonne limite, je trouve :

    lim 2/(n+1)= 0
    n→+∞

    lim n² = +l'infini
    n→+∞

    lim (n+1)= +l'infini
    n→+∞

    Ce qui me fait lim Vn = 0
    n→+∞

    Ce qui n'est pas bon. Mais je n'arrive pas à voir pourquoi.

    Si quelqu'un peut m'aider ... je le remercie d'avance.



  • salut

    le "théorème" que tu emploies n'est pas valable : forme indéterminée de limite, car une forme "l'infini fois zéro" peut tendre vers tout et n'importe quoi.

    essaie plutôt de travailler sur n/(n+1)



  • C'est à dire en faisant ça :

    (2n/n+1) x (n/n+1) ?



  • non, je pensais à 2n²/(n+1)² = 2 (n/(n+1))²

    tu vois la limite de n/(n+1) et là tu peux appliquer les théorèmes sur les limites.



  • Rah MERCI Zauctore ! 🙂
    Ca faisait un petit moment que j'étais dessus et je ne voyais pas du tout comment le faire et je n'avais pas pensé à ta méthode!



  • 😉


 

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