Aire maximale (fonctions)



  • Je suis en train d'essayer de résoudre un exercice, et là je bloque :
    On considère un triangle ABC rectangle en B et tel qe : AB = 4 cm et BC = 8cm.
    Un point F représente la position d'une fourmi qui se déplace sur le segment [AC] sans atteindre les points A et C. Le point F se projette orthogonalement en M sur le segment [AB] et en P sur le segment [BC].

    1)Déterminer la valeur exacte de AC et l'aire du triangle ABC

    Voici ce que j'ai fais :
    Dans le triangle ABC rectangle en B , on a d'après le théorème de Pythagore : AC² = AB² + BC²
    = 4² + 8²
    = 80
    AC = √80
    Aire de ABC = (Ll)/2
    = (4
    8)/2
    = 32/2
    = 16 cm²

    2)On note x la longueur AM
    a)Démontrer que MF = 2x

    Je ne sais pas comment m'y prendre

    b)Démontrer que l'aire du rectangle MFPB est égale à 2x(4-x)

    Voici ce que j'ai fais
    Aire d'un rectangle = L * l
    L = MF = 2x et l=MB=4-x
    D'où Aire de MFPB = 2x(4-x)

    c)Démontrer que cette dernière expression est aussi égale à 8-2(x-2)²
    8 -2(x-2)² = 8-2(x² -4x +4)
    = 8 -2x² + 8x -8
    = -2x² +8x
    Donc 8-2(x-2)² = 2x(4-x)

    En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours égale à 8
    Là aussi je ne sais pas comment m'y prendre

    d)Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle MFPB est-elle maximale ?

    Si vous pouviez vérifier mes raisonnements et m'aider à avancer aux question que je n'ai pas su résoudre

    Merci d'avance



  • salut

    C'est Thalès qui résoudra ton pb de MF=2x.

    Citation
    En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours égale à 8
    ce ne serait pas plutôt "En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours inférieure ou égale à 8 ?" auquel cas c'est clair avec 8 -(...)².



  • Oui, je suis désolé la question est plutôt "En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours inférieure ou égale à 8?"



  • Donc pour démontrer MF=2x ; j'ai réussi à le faire

    Mais pour la c)En déduire que l'aire du rectangle MFPB est toujours inférieure ou égale à 8. : je n'ai pas compris quelle astuce utiliser.



  • re.

    l'aire est 8-2(x-2)²

    i.e. dans 8, tu enlèves 2(x-2)² qui est positif : l'aire est donc moindre que 8.



  • √d)Pour quelle valeur de x l'aire du rectangle MFPB est-elle maximale ?

    Ici je pense qu'il faut résoudre une équation :
    En effet, étant donné que l'aire est forcemment plus petite que 8, ceci veut dire qu'elle vaut au maximum 8 , donc que :
    8 - 2(x-2)² = 8
    -2(x-2)² = 0
    (x-2)² = 2
    x-2 = √2 ou x-2 = -√2
    x = √2 + 2 x = -√2 +2
    Sauf qu'on travail ici avec des longueur, donc on peut se passer de :
    x = -√2 + 2

    Ce qui nous donne : Pour x = √2 + 2 ; l'aire est au maximum

    Qu'en pensez-vous ?

    Merci d'avance



  • Y a-t'il quelqu'un qui pourrait vérifier mon raisonnement.

    Merci d'avance



  • re.
    nassi
    Ici je pense qu'il faut résoudre une équation :
    En effet, étant donné que l'aire est forcemment plus petite que 8, ceci veut dire qu'elle vaut au maximum 8 , donc que :

    là tu as de la chance.
    en effet, on pourrait tout aussi bien écrire que l'aire est plus petite que 10 (puisqu'elle est moindre que 😎 sans pour autant qu'elle puisse valoir jamais 10... c'est la différence entre un majorant et un maximum.
    nassi
    8 - 2(x-2)² = 8
    -2(x-2)² = 0
    (x-2)² = 2
    x-2 = √2 ou x-2 = -√2
    x = √2 + 2 x = -√2 +2

    le passage de la 2e à la 3e ligne est faux.
    nassi
    Sauf qu'on travail ici avec des longueur, donc on peut se passer de :
    x = -√2 + 2

    as-tu éventuellement vérifié le signe de -√2 + 2 avant de conclure ainsi ?

    de toute façon la réponse n'est pas de cette forme.

    courage, reprends ça patiemment !



  • Bonsoir
    Ah oui, j'ai fais une petite erreur de calcul
    Je reprends
    8 - 2(x-2)² = 8
    -2(x-2)² = 0
    (x-2)² = 0
    x-2 = √0
    x-2 = 0
    x = 2
    Donc pour x = 2, l'aire du rectangle est maximale

    Est-ce juste ?

    Merci d'avance



  • Pouvez-vous me dire si mon raisonnement est bon

    Merci d'avance


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