dimension de l'intersection de sous-espaces vectoriels

[Thierry]

Salut les mathforeurs,

Je ne suis pas encore tout à fait au point sur l'algèbre linéaire alors je sollicite votre aide bienveillante.

(L'énoncé est à lire sous un bon navigateur comme firefox qui sait afficher les caractères spéciaux.)
Enoncé

Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de $R^n$ avec dim E = dim F = 2.

1. L'ensemble E∩F est-il toujours un sous-espace vectoriel ? Justifier votre réponse.
2. Quelles sont les dimensions possibles de E∩F dans le cas n=3 ? Donner une interprétation géométrique.
3. Préciser toutes les dimensions possibles de E∩F dans le cas n=4

J'ai fourni des réponses intuitives liées à l'interprétation géométrique mais je manque d'éléments théoriques pour les démontrer en bonne et due forme. De plus ma rédaction est approximative.

1. Oui c'est du cours (l'intersection de sev et un sev)
2. Si E et F sont des plans parallèles (confondus) alors dim E∩F = 2
   Si E et F sont sécants alors dim E∩F = 1.
3. Je ne suis pas certain mais les réponses sont les mêmes que pour la question 2 non ?

Toutes vos remarques seront bienvenues. Je suis élève dans ce domaine ...

[Noé]

Bonjour,

1. En effet c'est du cours, et en règle générale pour montrer qu'une partie d'un ev est un sous-ev, il suffit de montrer qu'il est stable par combinaison linéaire.

2. et 3) Pour ce genre de questions, le plus simple est d'utiliser la formule $dim(e+f)+dim(e\bigcap f)=dim(e)+dim(f)$. On connait $dim(e)$ et $dim(f)$, et on sait que $dim(e+f)\le n$ (car $e+f\subset r^n$). De plus, $dim(e\bigcap f)\le min(dim(e),dim(f))$. On en déduit un encadrement de $dim(e\bigcap f)$, et il est possible de vérifier à l'aide de bases que toutes les valeurs dans l'intervalle obtenu correspondent bien à une valeur possible de $dim(e\bigcap f)$.
   Par exemple, je vous laisse vérifier que pour $n=4$, les valeurs possibles sont $0$, $1$, et $2$.