DM de Spé. : similitudes

Bonjour les Matheux!

J'ai un exercice de spé à faire pour demain, noté evidemment, et je bloque sur les dernières question. C'est peut être parce que j'ai des fautes dans les questions précédentes. Je vous poste l'exercice et mes réponse, merci d'avance pour votre aide.

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct (O,u,v).
On considère l'application f du plan, dans lui même, qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe:

z'=(1/2)iz+(1-3i)/2

1-Montrer que f est une similitude direct, trouver k, Ω, et l'angle θ.

REPONSE:
z'=az+b
k=|a|=1/2
θ=arg(a)=π/2
Ω⇔point invariant=1-i

$2-M_o$ le point d'affixe 1+4√3+3i. Pour tt entier naturel n, le pt $M_{n+1}$ est défini par

$M$ _{n+1} $f(M_n$ )

a) Calculer Ω $M_n$ en fct de n

REPONSE
$M$ {n+1} $f(M_n$ )
⇔Ω $M{n+1}$ =f(Ω $M_n$ )
⇔| $z$ _{n+1} $z_Ω$ |=|1/2 i|| $z$ n $z_Ω$ |
⇔Ω $M{n+1}$ =(1/2)(Ω $M_n$ )
⇒suite géo de raison 1/2
⇔Ω $M_n$ =Ω $M$ _0 $em>(1/2)^n$

Ω $M_0$ =8

Ω $M$ _n $8*(1/2)^n$

b)Placer $M_0$ et construire $M_1$ , $M_2$ , $M_3$ , $M_4$

REPONSE
Je ne sait pas comment être précise sur une figure, car il y a des racines... Peut-être faut-il utiliser un cercle?...

c)A partir de quel rang $n_0$ a-t-on: "pr tt n≥ $n_0$ , $M_n$ appartient au disque de centre Ω et de rayon r=0.05"?

REPONSE
$8*(1/2)^n$ ≤0.05
$2^n$ ≥160
n≥(ln 160)/(ln 2)

3-a) Calculer $M$ _0 $M_1$

REPONSE
Je trouve 29/2+2√3, mais ce résultat me semble incohérent. Le problème est que je ne trouve pas mon erreur

b) Pour tt n, on note $d$ _n $= M$ n $M{n+1}$ .
Montrer q $d_n$ est une s.géo dont on précisera le 1er terme et la raison

REPONSE
$d$ _{n+1} $1/2)d_n$
⇔ $d$ _n $= d$ _0 $1/2)^n$
Mais je ne suis pas sur de mon $d_0$ (cf au dessus)

c) On note $l$ _n $= d$ _0 $d_1$ +... $d_n$
Calculer $l_n$ en fct de n et en déduire sa limite en +∞

C'est a partir de là que je bloque.

Voilà c'est tout! Merci d'avance pour vos réponses!

Morgane2507

a) Calculer Ω $M_n$ en fct de n

REPONSE
$M$ {n+1} $f(M_n$ )
⇔Ω $M{n+1}$ =f(Ω $M_n$ )
⇔| $z$ _{n+1} $z_Ω$ |=|1/2 i|| $z$ n $z_Ω$ |
⇔Ω $M{n+1}$ =(1/2)(Ω $M_n$ )
⇒suite géo de raison 1/2
⇔Ω $M_n$ =Ω $M$ _0 $em>(1/2)^n$

Ω $M_0$ =8

Ω $M$ _n $8*(1/2)^n$

Bonjour, je ne suis pas certain mais il me semble que tu ai oublier d'ajouter le b de ta similitude soit d'ajouter (1-3i)/2.
Ton erreur découle peut être de la ?

En fait, je l'avais mis au début, mais dés que je me suis retrouvée bloquer je suis allée faire un tour sur ce forum

http://www.ilemaths.net/forum-sujet-78963.html

C'est là que j'ai trouvé cette réponse qui me semblait mieux convenir.

Oui car en essayant de l'ajouter je me retrouve à tourner en rond me cela me semble louche car la similitude n'est donc pas appliquer dans son ensemble donc le point invariant ne l'est plus (Sa me permet de réviser j'ai controle demain moi :p)

Oui donc la n'est pas l'erreur,
$M_1$ =-1+i(2√3-1)
$M$ 0 $M_1$ =4√5, je trouve moi
La, il y a un problème
$m0m1=∣−1+i(23−1)−1−43−3i∣m{0}m_{1}=\left|-1+i(2\sqrt{3}-1)-1-4\sqrt{3}-3i \right|$
$m0m1=∣−2−43+i(23−4)∣m_{0}m_{1}=\left|-2-4\sqrt{3}+i(2\sqrt{3}-4)\right|$
$m0m1=(−2−43)2+(23−4)2m_{0}m_{1}=\sqrt{(-2-4\sqrt{3})^2+(2\sqrt{3}-4)^2}$
$m{0}m_{1}=$ √80
$m_{0}m_{1}$ =4√5

Venx
M $_0$ M_1$=4√16
J'essaie avec ça alors, pourrais-tu détailler un petit peu ton calcul?
Sinon, ravie de t'aider à réviser, mais la veille, ce n'est pas un peu tard? xD

Excuse moi j'ai fait une erreur de frappe voila mon calcul vérifie le.
Sinon vaut mieux tard que jamais et les maths sa ne se révise pas mais sa se comprend avant tous de mon points de vue .

Merci, une erreur bête de calcul, j'avais fait zo-z1 au lieu de z1-zo.
Pour les maths, t'as pas tord ^^

Pour la suite
ln=∑dn
Pour te mettre sur la voie tu peux trouver à paritr de sa

Merci mais en y reprenant j'avais trouvé, c'est la somme de termes d'une s.géo. Sympa quand même!

Ok bon ben bonne continuation

J'ai une dernière question et là, aucune idée!

Pr tt entier naturel n non nul, on note Gn l'isobarycentre des points $M_0$ , $M_1$ ,..., $M_n$ .

Montrer que pour tout n>0, Ω $G_n$ ≤16/(n+1)
En déduire la position limite du point $G_n$ quand n tend vers +∞

Pour la fin, il faut utiliser une limite je pense, mais comme je n'ai pas la question précédente...

L'isobarycentre se note :
Pour tout point N du plan on a :
$N M$ _0 $NM_1$ +... $NM_n$ =n*NG ou G est le barycentre,
Soit N le point Ω, On a :
ΩG=(Ω $M_0$ +Ω $M_1$ +...+Ω $M_n$ )/n

Or nous avons une formule pour Ω $M_n$
Essaie avec cela

Venx

$N M$ _0 $NM_1$ +... $NM_n$ =n*NG

*Erreur ici excuse moi, c pas n*NG mais (n+1)NG car entre 0 et n on a n+1 rang
Venx

ΩG=(Ω $M_0$ +Ω $M_1$ +...+Ω $M_n$ )/n

De même ici divise par n+1 pour la même raison

Merci beaucoup, je vais faire avec ça! Bon contrôle demain =P a+

Une petite rectification, les formules sont avec des vecteurs donc il ne faut pas oublier de faire la norme de l'expression pour obtenir chaque longueur.