Effectuer des calculs à l'aide des barycentres


  • P

    Bonjour ! Je rencontre quelques difficultés avec un exercice qui apparaît dans mon devoir maison pour jeudi. Pourriez-vous m'expliquer comment je dois procéder s'il-vous-plaît ? Voici l'énoncé (en gras) avec mes éléments de réponse:

    **ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=6 et AC=8. Le but de cet exercice est de déterminer l'ensemble C des points M tels que: MC ≥ 3MA et MB ≤ 2MA.

    1)Recherche de l'ensemble E des points M tel que MC ≥ 3MA.**

    a) Démontrer que MC ≥ 3MA ⇔ 9MA29MA^29MA2 - MC2MC^2MC2 ≤ 0
    → j'ai répondu: 9MA29MA^29MA2 - MC2MC^2MC2 ≤ 0 équivaut à 9MA29MA^29MA2MC2MC^2MC2 soit √(9MA2(9MA^2(9MA2) ≤ √(MC²)
    et donc: 3MA ≤ MC

    b) Placer sur la droit (AC) le barycentre G des points pondérés (A,9) et (C,-1).
    Je l'ai construit à l'aide de ce calcul: $g= bar\left{(a,9);(c,-1) \right}$ existe car 9 + (-1) ≠ 0. J'en ai déduit que ag⃗=−19+(−1)ac⃗\vec{ag}= \frac{-1}{9 + (-1)} \vec{ac}ag=9+(1)1ac donc que ag⃗=−18ac⃗\vec{ag}= \frac{-1}{8} \vec{ac}ag=81ac.

    c)
    Exprimer 9MA² - MC² en fonction de GM
    .
    → C'est là que je bloque... j'ai voulu utiliser l'identité remarquable a²-b²=(a+b)(a-b) et ensuite insérer G: 9MA² - MC² = 9ma⃗²−mc⃗9\vec{ma}² - \vec{mc}9ma²mc² = (3ma⃗+mc⃗)(3ma⃗−mc⃗)(3\vec{ma} + \vec{mc})(3\vec{ma} - \vec{mc})(3ma+mc)(3mamc) = ... et après je pars dans des trucs farfelus, des montagnes de vecteurs quand je développe etc... peut-être dois-je insérer G dès le début avec Chasles ? Quoiqu'il en soit j'ai essayé de faire le reste.

    d) Quel est l'ensemble E recherché ? Le représenter.

    → je n'ai pas pu répondre à cause de la question précédente.

    2) Rechercher de l'ensemble F des points M tels que MB ≤ 2MA.

    a) Montrer que MB ≤ 2MA ⇔ (2ma⃗−mb⃗)(2ma⃗+mb⃗)(2\vec{ma} - \vec{mb})(2\vec{ma} + \vec{mb})(2mamb)(2ma+mb) ≥ 0
    → J'ai trouvé: (2ma⃗−mb⃗)(2ma⃗+mb⃗)(2\vec{ma} - \vec{mb})(2\vec{ma} + \vec{mb})(2mamb)(2ma+mb) ≥ 0 équivaut à 4ma⃗4\vec{ma}4ma² - mb⃗\vec{mb}mb² ≥ 0 soit 4ma⃗4\vec{ma}4ma² ≥ mb⃗\vec{mb}mb² et finalement: 2MA ≥ MB.

    b) Placer sur (AB) le barycentre I de (A,2) et (B,-1) et le barycentre J de (A,2) et (B,1).
    $i=bar\left{(a,2);(b,-1) \right}$ existe car 2 + (-1) ≠ 0. J'en ai déduit la relation ai⃗=−ab⃗\vec{ai} = -\vec{ab}ai=ab.
    $j=bar\left{(a,2);(b,1) \right}$ existe car 2 + 1 ≠ 0. J'en ai déduit la relation: aj⃗=13ab⃗\vec{aj} = \frac{1}{3}\vec{ab}aj=31ab.

    c) Démontrer que (2ma⃗−mb⃗)(2ma⃗+mb⃗)(2\vec{ma} - \vec{mb})(2\vec{ma} + \vec{mb})(2mamb)(2ma+mb) ≥ 0 ⇔ mi⃗∗mj⃗\vec{mi} * \vec{mj}mimj ≥ 0
    → D'après le thm de réduction des sommes, 2ma⃗−mb⃗=mi⃗2\vec{ma} - \vec{mb} = \vec{mi}2mamb=mi et 2ma⃗+mb⃗=mj⃗2\vec{ma} + \vec{mb} = \vec{mj}2ma+mb=mj. Donc (2ma⃗−mb⃗)(2ma⃗+mb⃗)(2\vec{ma} - \vec{mb})(2\vec{ma} + \vec{mb})(2mamb)(2ma+mb) ≥ 0 équivaut à mi⃗∗mj⃗\vec{mi} * \vec{mj}mimj ≥ 0

    d) Quel est l'ensemble F recherché ? Le représenter.

    → Je ne sais pas quoi répondre... un arc de cercle d'angle orienté (mi⃗;mj⃗)(\vec{mi} ; \vec{mj})(mi;mj) tel que le cos (mi⃗;mj⃗)(\vec{mi} ; \vec{mj})(mi;mj) ≥ 0 ?

    3) Représenter l'ensemble C.

    → Je ne peux pas répondre sans les questions 1c), 1)d) et 2)d)...

    Voilà, les questions auxquelles je n'arrive pas à répondre sont soulignées. Merci de votre aide.


  • Zauctore

    Salut

    toute considération de barycentre mise à part (j'ai pas envie de melancer là-dedans à cette heure) tu n'as pas une toute petite idée de ce qu'est l'ensemble des points M tels que MC = 3MA à tout hasard ? des fois qu'en simplifiant ça pourrait t'aider à voir plus clair...

    rappelle-toi les petites classes : pour les points M tels que MA = MC, il y en avait un seul sur la droite (AC) : le milieu du segment.
    et le lieu des M tels que MA = MC était une droite (la médiatrice).

    ici, avec papier-crayon (puisque ça n'a visiblement pas été fait en classe) essaie de trouver le(s) point(s) M de (AC) tels que MC = 3MA.
    ensuite viendra la question de "deviner" leur lieu (ça s'appelle "conjecturer").
    enfin, il sera temps de prouver avec des vecteurs, des barycentres, patin-couffin...
    d'ailleurs j'ajoute qu'avec un logiciel de géométrie dynamique (GeoGebra par ex) tu peux faire plein d'essais !

    franchement commencer ce genre d'exo par des questions vectorielles, c'est d'un contre-productif ! [cette remarque concerne l'énoncé de l'exercice tel qu'il est donné - en rien la posteuse n'y a quelque responsabilité (posteuse sympathique au demeurant !)]


  • Zauctore

    Voici la réponse à la question que j'ai posée cette nuit :
    il y a deux points sur (AC) tels que MC = 3MA : ce sont I et J rouges

    fichier math
    (I est au premier quart de [AC] à partir de A alors que J est le symétrique du milieu de [AC] par rapport à A - oui, ce sont des barycentres de A et C).

    maintenant, quels sont tous les points M du plan tels que MC = 3MA ? encore une fois, sans démontrer, juste conjecturer...


  • P

    Bonjour, je vous remercie pour vos indications mais... ma figure ne correspond à la vôtre. I et J ne sont pas sur la droite (AC) mais la droite (AB).
    Au sujet de votre question, il me semble que si MC=3MA alors M est situé au tiers du segment [AC] à partir de A. Comme il s'agit ici d'une inégalité large, je dirai que M est situé entre A et 1/3 de AC (j'ai vérifié ma figure, je ne crois pas m'être trompée).
    Je vous ai posé des questions précises mais vous ne m'avez pas répondu. Il ne s'agit pas de savoir si c'est contre-productif ou non de commencer avec des questions vectorielles, mais de comprendre comment je peux utiliser les barycentres et les produits scalaires dans un problème de niveau 1ère. J'ai réellement essayé de faire cette exercice, je n'ai aucun membre de ma famille qui soit bon dans les matières scientifiques. J'ai demandé de l'aide à des élèves mais nous n'avons pas trouvé. Par conséquent j'apprécierai que vous lisiez ce que j'ai écrit et me donniez des pistes, le plus pédagogiquement possible.
    Ne voyez pas dans mon mon message une critique ou un reproche. J'appréie le fait que vous ayez lu mon message et je trouve qu'aider gratuitement des élèves en math par l'intermédiaire d'un forum est très aimable de votre part; mais, avec tout le respect que je vous dois, je dois le rendre demain. J'ai commencé a faire ce devoir maison samedi après-midi et je n'ai toujours pas avancé sur les questions qui me posent problème.
    S'il-vous-plaît, pourriez-vous m'indiquer comment procéder pour les questions 1)c), 1)d), 2)d) et 3) ?


  • Zauctore

    je continue mon monologue.

    la réponse à la question précédente est... le cercle de diamètre [IJ]. Soit G son centre :

    fichier math
    à noter que l'ensemble des M du plan tels que MC≥3MA est le disque délimité par ce cercle.

    évidemment rien n'est démontré à ce stade - les barycentres de l'exo de Pepsylily sont là pour ça. n'empêche que le pb est quasiment fini quand on a perçu ces choses.


  • Zauctore

    j'ai mis I et J par exemple, pour fixer les idées sans tenir compte des questions suivantes de ton sujet.

    mes remarques concernaient l'énoncé et la façon dont on te fait aborder ce problème. tu n'y peux rien.
    à mon avis il est essentiel de sentir géométriquement ce genre d'histoire de lieu, indépendamment des calculs - je comprends néanmoins ton angoisse et passe donc allègrement sur les remarques fallacieuses qui parsèment ton intervention de 14:38.

    pour ce qui est de la position sur (AC)... si tu mets un point P au tiers de [AC] à partir de A, alors tu as PC = 2PA. je t'enjoins à re-vérifier ta figure.

    fors tout ceci qui est pourtant le plus intéressant, attelons-nous donc à 1c).

    G est le barycentre de (A,9) et (C,-1) c'est-à-dire par déf. 9ga⃗−gc⃗=0⃗\small 9\vec{ga} - \vec{gc} = \vec 09gagc=0. il s'agit d'exprimer 9MA² - MC² en fonction de GM...

    du fait de la définition, il me semble clair que c'est dans 9ma⃗2−mc⃗2\small 9\vec{ma}^2 - \vec{mc}^29ma2mc2 qu'il faut introduire G au moyen d'une relation de Chasles ; ainsi on récupérera de "bons coefficients" (à savoir 9 et -1).

    qu'obtiens-tu ?


  • P

    Merci. Je fais le calcul et je vous communique mon résultat.


  • P

    J'obtiens 9ma⃗2−mc⃗2=8mg⃗+18mg⃗.ga⃗−2mg⃗.gc⃗9\vec{ma}^2 - \vec{mc}^2 = 8\vec{mg} +18\vec{mg}. \vec{ga} - 2\vec{mg}. \vec{gc}9ma2mc2=8mg+18mg.ga2mg.gc
    (Les carrés sont les points d'interrogation)

    Je suppose que je peux encore simplifier mais je ne vois pas comment.

    Peut-être: 8mg⃗2+mg⃗.(18ga⃗−2gc⃗)8\vec{mg}^2+ \vec{mg}.( 18\vec{ga}-2 \vec{gc})8mg2+mg.(18ga2gc) ?

    [Pb d'affichage : résolu - NdZ]


  • Zauctore

    je pense qu'il y a une erreur car 18ga⃗−2gc⃗=0⃗\small 18\vec{ga} - 2\vec{gc} = \vec 018ga2gc=0.

    procède de façon plus progressive en ne mettant G que dans un seul facteur à la fois dans 9ma⃗⋅ma⃗−mc⃗⋅mc⃗\small 9 \vec{ma}\cdot\vec{ma} - \vec{mc}\cdot\vec{mc}9mamamcmc

    rq : pour l'affichage du carré en latex, il faut code ^2 et ne pas utiliser la touche ² pourtant bien commode.


  • P

    Ah oui, j'avais directement remplacé dans les carrés scalaires, c'est peut-être aller trop vite. J'essaie encore une fois.
    J'obtiens la même chose que tout à l'heure (je ne fais plus les vecteurs au latex, cela me prend beaucoup de temps à chaque fois et cela m'empêche de détailler):

    9MA² - MC² = 8MG² + 18MG.GA - 2MG.GC + 9GA² - GC² sauf que la première fois, j'avais enlevé 9GA² et - GC² car je pensais que leur somme était nulle... ?
    A partir de là, je factorise par MG les produits scalaires 18MG.GA et - 2MG.GC ?

    P-s: Merci pr l'astuce-clavier, j'avais un peu de mal. Je le saurais la prochaine fois quand je taperai un énoncé.


  • Zauctore

    attention, 9GA² - GC² n'est pas du tout nulle : c'est d'ailleurs elle qui donnera le rayon du disque.

    bon je vais te montrer mes calculs, en utilisant la
    conventionsuivante pour écrire les vecteurs : ils figurent en GRAS.

    alors on a 9MA² - MC² = 9(MG+GA).MA - (MG+GC).MC

    sorti de là, on trouve bien (en deux temps)

    9MA² - MC² = 8MG² + 18MG.GA - 2MG.GC + 9GA² - GC²
    comme tu l'as annoncé.

    or, tu as 18MG.GA - 2MG.GC = 2MG.(9GA - GC) et le contenu de la parenthèse est...


  • P

    ...le contenu de la parenthèse est nul !

    Donc il reste 8MG² + 9GA² - GC². Que puis-je faire avec tous ces carrés ? je réinsère G ?


  • Zauctore

    surtout pas !

    tu as placé G avec AC = 8 : tu peux connaître GA² et GC² par simple lecture graphique !


  • P

    Oui, effectivement. GA² = 1 et GC²= 81 donc 9MA² - MC²= GM² + 82.


  • Zauctore

    nonon, fais attention : 9MA² - MC²= 8MG²
    - ...


  • P

    oula...oui: 8MG² + (9 - 9²)= 8GM² - 72.


  • Zauctore

    toujours pas : c'est 8MG² +
    9GA² - GC²

    essaie encore 😉


  • Zauctore

    ok (vu ton edit)


  • P

    Ok. En ce qui concerne la suite (la question suivante où il faut déterminer l'ensemble): j'ai bougé le point que vous avez appelé P, maintenant c'est sûr il est à la bonne place: tel que PC= 3PA.
    Donc, je récapitule: je cherche l'ensemble des points M qui vérifie l'inéquation: 8MG² - 73 ≤ 0... qui équivaut à MG² ≤ 73/8 soit MG (c'est une longueur donc elle est positive donc je peux prendre une racine positive dans l'autre membre de l'inéquation et ne pas changer le sens) ≤ √(73/8).
    Un ensemble qui vérifie ça... désolée, mais je ne me le représente pas. Vous m'avez parler d'un cercle mais le cercle je le vois plutôt dans l'ensemble recherché dans la question 2) ).


  • Zauctore

    allons-y récapitulons...

    9MA²-MC² = 8MG²-7
    2

    9MA²-MC² ≤ 0 équivaut donc à 8MG² ≤ 72 c'est-à-dire MG² ≤ 9 soit MG ≤ 3.

    les points M doivent donc être à moins de 3 cm du point G dont la position est bien fixée sur la figure.

    les points qui sont exactement à 3 cm de G sont ceux du cercle de centre G de rayon 3 cm , n'est-ce pas... d'où le disque.

    rq : c'est vrai qu'à la question suivante, ça va tourner autour d'un autre cercle...


  • Zauctore

    (pense à l'écartement du compas dont la pointe est plantée en G)


  • P

    AH oui, je n'avais pas tenu compte du fait que M n''appartenait pas forcément à (AC). Je comprends mieux. Mais dans ce cas, si l'ensemble est un disque de rayon 3 et de centre G, alors on ne tient pas compte des points M qui sont sur les disques de centre G et de rayon 2,9 ou 2,8 ou encore 1, non ? Car ceux-là sont à une distance inférieure à 3 de G.


  • P

    Peut-être que ma question est idiote mais... un disque= un cercle, n'est-ce pas ? (par ex: un cerceau est un cercle mais un disque est un couvercle de pot de confiture ? Dans ce cas, j'avias mal compris, je pensais cercle = disque)

    P-s: excusez les métaphores douteuses..


  • Zauctore

    le disque est la zone qui est à l''intérieur du cercle.
    tous les points dont tu parles sont parmi ceux du disque de centre G est de rayon 3.

    par contre un point situé au-delà du cercle que j'ai représenté dans mon schéma de 14:39 n'est pas dans l'ensemble, ni dans le disque dont nous parlons.

    passons à la suite : question 2d) si tu veux bien.

    rq : pas douteuses du tout tes métaphores, puisqu'elles illustrent (et fort bien) la différence entre les deux notions !


  • Zauctore

    ps : aucune (vraie) question n'est idiote !

    d'ailleurs je vais t'en poser une : quel est l'âge approximatif de ton/ta prof ?


  • P

    ma prof est sûrement cinquantenaire. Je pense que vous doutez de la qualité de son enseignement mais elle n'est pas si mauvaise: ses cours ne sont pas trop confus, c'est juste qu'avec toutes ces heures qui sautent (grèves, sorties scolaires, ponts, jours fériés, changements d'emplois du temps...), elle veut aller vite sur son programme et on fait très peu d'exercices. J'essaie d'en faire chez moi mais il y a aussi les autres matières qui me prennent beaucoup de temps.
    Merci de ne pas vous être moqué de mes métaphores car pour moi aussi c'étaient les plus réprésentatives^^

    Je suis d'accord, passons à la question 2)d). On a donc le deuxième ensemble: MI.MJ ≥ 0 (toujours des vecteurs)

    J'avais pensé à ça: ce produit scalaire peut s'exprimer par les longueurs MI et MJ multipliées par le cosinus de l'angle (MI;MJ). Or, on sait que MI et MJ sont ≥ 0 car ce sont des longueurs... Donc il ne reste que l'angle qui doit absolument être ≥ 0. J'ai pensé à un arc de cercle.


  • P

    Pour que le cosinus d'un angle soit positif, il faut que l'angle soit compris entre −π2-\frac{\pi }{2}2π et π2\frac{\pi }{2}2π.


  • Zauctore

    je ne mets ansolument pas en cause la qualité de son enseignement, simplement la façon dont cet exo très intéressant a été abordé : les élèves actuels ne sont plus du tout les mêmes qu'il y a 20 ans, les énoncés doivent être adaptés en conséquence.

    tu as peut-être vu ce théorème au collège : "en reliant un point d'un cercle aux extrémités d'un de ses diamètres, on forme un angle droit" (et réciproquement). sa traduction en termes de vecteurs est "MI.MJ = 0 ssi M est sur le cercle de diamètre [IJ]".

    tu as raison de voir ça en lien avec le cosinus : l'angle IMJ (sommet M) est de quelle nature, lorsque MI.MJ > 0 ?


  • Zauctore

    ok (vu ton 2e post)

    dans ce cas, où sont les sommets M par rapport au cercle ?


  • P

    Je comprends votre point de vue au sujet des énoncés. Mais bon, je n'ai pas été élève il y a 2O ans alors je ne peux pas comparer et dire que mon exercice est mal posé.

    Oui je connais ce théorème (sous un autre formulation): donc le second ensemble (F) est le cercle de diamètre [IJ].

    Au sujet de la dernière question: je ne sais pas quelle est la nature de l'angle si MI.MJ > 0... l'angle est aigu ?


  • P

    On est d'accord: M est sur le cercle de diamètre [IJ] sssi il appartient aussi au disque de centre G ? Je vois bien la portion de cercle mais je n'arrive pas à imaginer comment l'angle IMJ peut faire plus que 90°. Ca voudrait dire que l'ensemble F n'est pas que le cercle de diamètre IJ ? -> à cause de l'inégalité large...


  • Zauctore

    oui

    attention : le second ensemble n'est pas un cercle, de même que le premier n'en était pas un.
    par contre la frontière de l'ensemble cherché est un cercle.

    rq : à l'évidence, en voyant les difficultés que tu as rencontrées dans cet exo (et tu m'as dit ne pas être la seule) tu n'avais pas le pré-requis pour l'aborder, malgré toute ta bonne volonté et tous tes efforts.

    j'espère que tu en retireras quelques connaissances "stables" !


  • Zauctore

    vois l'évolution de l'angle lorsque le sommet varie par rapport au cercle

    fichier math


  • P

    ah ! j'ai compris ! je cherchais vainement des angles IMJ qui soient > à 90° à l'extérieur du cercle... alors que je devais regarder à l'intérieur; normal que je n'ai trouvé que des angles aigus... donc F est un disque aussi.

    => l'ensemble C (E ∪F) est donc la "surface d'intersection" des deux disques si je comprends bien ? Comment note-ton cela mathématiquement ?

    réponse à la remarque: il faut avouer que la dernière fois que j'ai fait des barycentres, c'était en décembre... même si je les ai revus exprès pour ce devoir maison, je n'étais quand même pas très à l'aise. Oui je n'étais pas seule, nous avons même demandé de l'aide à la prof (elle l'a proposé spontanément) mais cela ne m'a pas plus avancé, finalement.


  • P

    Est-ce que je peux écrire que l'ensemble E est la surface d'intersection du disque de centre G et du disque de diamètre [IJ], où cela manque-t-il de rigueur ?

    P-s: oui, j'en retirai des connaissances stables; les ensembles de barycentres me faisaient déjà peur en décembre car je n'arrivais pas à interpréter ce que j'obtenais dans mes calculs pour les trouver. De plus, je n'ai entendu parler de disque depuis un bon moment.. j'avais oublié (en supposant que je l'ai connue) la différence avec un cercle. Quand j'ai commencé cet exercice, je n'ai pas cherché à comprendre graphiquement, c'est ce que j'aurais dû faire en premier.


  • Zauctore

    le pré-requis auquel je pense est un travail sur la notion de distance, sur l'expérimentation avec les M tels que MA/MB = 4 (à la main ou sur pc) AVANT de se taper des barycentres - d'autant qu'il n'y a pas que ça dans la vie 😉
    car le sujet de cet exo est la notion de rapport de distance, par l'outil vecteur.

    bon, passons.

    si je ne m'abuse tu cherches pour F tous les M tels que MI.MJ
    ≥0, donc ce n'est pas le disque...

    l'intersection s'écrit avec le symbole "cap" E∩F

    nb : tu as un style très "littéraire", c'est rafraichissant ! en tout cas j'apprécie bcp de t'accompagner dans la recherche délicate de cet exercice.


  • P

    Ah oui, j'ai confondu le symbole union et intersection.

    Si l'ensemble F n'est pas un disque je ne vois pas ce que cela peut être sachant que les points M doivent être soit SUR le cercle de diamètre [IJ] soit A L'INTERIEUR du cercle (autrement l'angle ne serait jamais supérieur à 9O° et c'est ce que la relation MI.MJ ≥ 0 exige, non ? A moins que je n'aie encore mal compris...).

    nb: pour mon style "littéraire", je vois que même par PC, il continue de me trahir. Eh oui, je fais partie de ces littéraires refoulés qui sont en première S pour aller... en médecine 😊 Ma prof de math m'a dit dans mon contrôle sur les dérivées, que ma rédaction était parfaite mais qu'elle lui piquait un peu son orgueil mathématique 😉 Je suis quand même contente qu'elle puisse "rafraîchir" les puristes. Pourtant, les phrases entièrement en symboles me font toujours rire. Je ferme le nb.


  • Zauctore

    heu non, c'est l'inverse : avec un pdt scalaire positif, l'angle est aigu.


  • P

    ah... je me disais aussi. Mais du coup, les points M sont soit sur le cercle, soit en dehors... C'est beaucoup trop vaste comme ensemble !


  • Zauctore

    c'est le complémentaire du disque : un ensemble illimité sur le plan (lequel se trouve donc privé du disque pour réaliser l'ensemble F).

    que donne alors E∩F ?

    fichier math


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