Calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique



  • Boujour.

    L'exercice me propose de calculer plusieurs sommes. Il y en a une où je suis bloquée :
    "S est la somme de tous les multiples de 6 compris entre 1000 et 2000."

    Pourriez-vous m'aider à calculer cette somme ?

    Merci par avance !



  • Bonjour Frenchtitou,

    Essaie de définir une suite simple et "qui va bien" ... qui conduirait aux multiples de 6 par exemple.

    Qu'est-ce qui pourrait convenir ?

    U0U_0 = ...
    U1U_1 = ...
    ...
    UnU_n = ...



  • Peut être que cela peut convenir :

    u1u_1 = 16 = 6
    u2u_2 = 2
    6 = 12
    ...
    unu_n = n*6 = 6n

    Est ce exact ?

    Merci pour ton aide



  • La suite que tu proposes donne effectivement les multiples de 6.

    Alors, on part la dessus : Suite de 1er terme U1 = 6 et définie de façon explicite par Un = 6n

    Pour pouvoir utiliser les formules (sommes) des suites arithmétiques et géométriques ... définis la nature de ta suite


    PS : On aurait pu considérer la suite arithmétique de premier terme U0 = 0 et de raison 6

    Uo = 0
    U1 = 0+6 = 6
    U2 = 6 + 6 = 12
    ...
    Un = Un-1 + 6

    mais on suit ton idée.



  • Calcule pour cela UnU_n - Un1U_{n-1}



  • Si l'on suit mon idée :
    uu_{n+1}un-u_n=6
    6 est la raison et la suite est arithmétique (ce qui tombe bien puisque nous n'avons pas encore étudié les suites géométriques).

    D'après cela, pour appliquer la formule de la somme, il faut que je trouve n ?

    Pour cela, je pensait appliquer : uu_n=u0=u_0+nr en prenant u0u_0=1000 et unu_n=2000 mais ça ne me parait pas cohérent du tout puisque 1000 et 2000 ne sont même pas des multiples de 6...

    😕



  • Oui, ta suite est bien une suite arithmétique de premier terme U1=6 et de raison r=6.

    Maintenant, il faut trouver les bornes (valeurs de n) pour que :

    1000 ≤ Un ≤ 2000 ⇔ (il n'y a pas égalité effectivement)
    1000 ≤ 6n ≤ 2000 ⇔
    ...



  • ⇔ 500/3 ≤ n ≤ 1000/3 ?

    Exact ?
    Est ce normal que les bornes ne soient pas des entiers ?

    😕



  • Puisque n est entier, tu dois pouvoir déterminer la valeur mini et la valeur maxi de n.

    par ex si 6.3 ≤ n ≤ 9.5 alors n peut prendre comme valeur 7 ; 8 et 9



  • Citation
    ⇔ 500/3 ≤ n ≤ 1000/3 ?

    Exact ?
    Est ce normal que les bornes ne soient pas des entiers ?
    Oui, ni 1000 ni 2000 ne sont multiples de 6 ... mais ce n'est pas bloquant.



  • Dans ce cas, 167 ≤ n ≤ 333 ??



  • Oui tout à fait

    Tu peux maintenant calculer la somme.



  • n = 83/3 ??



  • et S = 21500/3 ??



  • Je ne comprends pas d'où vient 83/3 ...

    (Un) étant arithmétique, tu appliques simplement la formule :

    S (de p à n) = nombre de termes × (1er terme + dernier terme) / 2

    nombre de termes entre 167 et 333 : ...
    1er terme : ...
    dernier terme : ...



  • nombre de termes entre 167 et 333 : 167 ( 166+1)

    mais j'ai utilisé uu_n=u0=u_0+nr...avec r=6

    :S



  • En retravaillant, je trouve d'après ma méthode :
    n=166 et SnS_n=250 500.

    Est ce bon ? 😄

    D'autre part, il y a un autre exercice qui me bloque : "Suites arithmétiques encore et encore..."...

    Merci !!



  • Oui, c'est correct.



  • Merci infiniment !!

    A bientôt !



  • Une précision : J'ai dit correct pour le résultat de la somme, mais attention :

    Citation
    n=166et Sn=250 500.

    ce que j'ai mis en rouge ne correspond à rien !

    Le nombre de terme entre p et n est : n-p+1

    Ici le nbre de termes est donc : 333 - 167 + 1 = 167

    Sn = 167 (1002 + 1998) / 2 = 250 500

    à+


 

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