Suites arithmétiques encore et encore...

Bonjour.

Je suis de nouveau confrontée à un exercice qui me pose problème. Le voici !

On considère la suite $u_n$ ) définie pour n ∈ $mathbb{N}$ par :

$u_0$ =9
$u$ _{n+1} $u_n$ +3n+2.

On souhaite exprimer $u_n$ en fonction de n.

Calculer $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ ; la suite $u_n$ ) est-elle arithmétique ?

Ma réponse : Cette suite n'est pas arithmétique.

Soit $v$ n $= u$ {n+1} $u_n$ ; montrer que $v_n$ ) est une suite arithmétique.

Ma réponse : $v_n$ =3n+2
$v$ _{n+1} $v_n$ =3 donc suite arithmétique.

On pose $S$ _n $= v$ _0 $v_1$ +... $v_n$ .
a. Calculer $S_n$ en fonction de n.

Ma réponse (c'est à partir de là que je commence à douter!) : $S$ _n $n+1)*((3n+4)/2)=(3n^2$ +7n+4)/2.

b. Montrer que $S$ n $= u$ {n+1} $u_0$ .

Pas de réponse.
Mon ébauche : $u$ _{n+1} $- u$ _0 $u_n$ +3n-7.

c. En déduire l'expression de $u_{n+1}$ , puis celle $u_n$ en fonction de n.

Pas de réponse.

En remerciant par avance la personne qui acceptera de vérifier mes réponses et de m'aider pour celles où je suis bloquée !

salut

la somme des k premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme a et de dernier terme z est k(a+z)/2

c'est bien (n+1)(3n+4)/2 dans le cadre de ton exo.

maintenant pour en venir à u_n, écris

v_1 = u_1 - u_0
v_2 = ...
v_3 = ...

etc.

v_n = u_{n+1} - u_n.

que se passe-t-il lorsqu'on ajoute membre à membre toutes ces égalités ?

Je ne vois pas où vous voulez en venir.

Cela semble correspondre à la démonstration de la somme.

On retombe sur $S_n$ ...

et à droite ? y'a pas comme une simplification ?

$v$ _1 $= u$ _1 $u_o$
$v$ _2 $= u$ _2 $u_1$
.
.
.
$v$ n $= u$ {n+1} $u_n$

$S$ _n $= - u$ 0 $u_2$ +... $+ u$ {n+1} $u_n$

je vois une simplification qui peut se reproduire à l'infini, mais $u_n$ et $u_2$ toujours présents, désolé...

écris alors v_3 pour voir ce que devient u_2.

par contre, u_n reste en effet (avec un autre terme).

Si $v$ n $= u$ {n+1} $u_n$
alors $v$ _1 $= u$ _2 $u_1$ .
Donc nous avons faits une erreur, non ?

Et dans le calcul que je vais refaire pourquoi on ne commence pas pas $v_0$ ?

c'est moi, j'aurais dû écrire v_0 = u_1 - u_0
10^3 excuses !

Le nouveau calcul me donne :
$S$ _n $= - u$ 0 $u_4$ +... $+ u$ {n+1} $u_n$

Bref, je n'aboutit à rien !

dans les pointillés, il se passe des choses

voyons par exemple si l'on fixe n=6

$u_1 - u_0) + (u_2 - u_1) + (u_3 - u_2) + (u_4 - u_3) + (u_5 - u_4) + (u_6 - u_5) + (u_7 - u_6)$
vois ce qu'il reste !

$- u$ _0 $u_7$

Soit pour n=6
$v$ 6 $= u$ {n+1} $u_0$ .

Je vois maintenant !

Mais comment le démontrer et le rédiger...

en classe de première, il n'y rien d'autre à faire que de biffer deux à deux les termes opposés et de dire : "et ainsi de suite".

en terminale, tu auras la récurrence pour démontrer plus rigoureusement.

là présentement, il n'en est pas besoin : ce qui se passe dans les pointillés est assez clair

C'est justement ce pourquoi je n'aime pas la question : le manque de rigueur :razz:

Je pense que je vais me débrouiller pour la rédaction, ce n'est qu'un exercice maison après tout !

Par contre est ce qu'en ce qui concerne la question 3b mes réponses sont elles justes ?

$u_{n+1}$ =(3n²+7n+22)/2
et
$u_n$ =(3n²+n+18)/2 ??

Est ce que quelqu'un peut répondre à mon dernier message s'il vous plaît ?