Erreur de calcul dans une dérivée ?
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VVenx dernière édition par
Bonjour,
l'objectif de l'exercice est de trouver la dérivée de la fonction suivante :
f(x)=ln(1+1+x2x)f(x)=ln\left( \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)f(x)=ln(x1+1+x2)On sait que le résultat est :
f′(x)=−1x∗1+x2f'(x)=\frac{-1}{x*\sqrt{1+x^2}}f′(x)=x∗1+x2−1Pour plus de faciliter mes réponses sont dans le post qui suit:
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VVenx dernière édition par
Ayant à faire à une fonction logarithme :
f(x)=ln(u)
f'(x)=u'/uJe pose donc :
g(x)=1+1+x2g(x)=1+\sqrt{1+x^2}g(x)=1+1+x2
h(x)=xh(x)=xh(x)=xDonc :
f′(x)=(g(x)h(x))′(g(x)h(x))=g′h−gh′h2gh=g′h−gh′ghf'(x)=\frac{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)'}{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)}=\frac{\frac{g'h-gh'}{h^2}}{\frac{g}{h}}=\frac{g'h-gh'}{gh}f′(x)=(h(x)g(x))(h(x)g(x))′=hgh2g′h−gh′=ghg′h−gh′
Pour calculer g'(x) nous décomposons g(x) en composée de fonction :
u(x)=1+√x
v(x)=1+x²
g(x)=(u o v)
g'(x)= (u o v)'= (u' o v)* v'Ainsi :
g′(x)=121+x2∗2x=2x21+x2g'(x)= \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}*2x=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}g′(x)=21+x21∗2x=21+x22x
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VVenx dernière édition par
Nous remplassons tout cela dans notre formule de départ :
f′(x)=2x21+x2∗x−1+sqrt1+x2x(1+sqrt1+x2)=2x2−(1+sqrt1+x2)(21+x2)21+x2x(1+sqrt1+x2)=2x2−(2sqrt1+x2+2(1+x2))21+x2x(1+sqrt1+x2)=−2sqrt1+x2−221+x2x(1+sqrt1+x2)f'(x)= \frac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}*x-1+sqrt{1+x^2}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{\frac{2x^2-(1+sqrt{1+x^2})(2\sqrt{1+x^2})}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{\frac{2x^2-(2sqrt{1+x^2}+2(1+x^2))}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}f′(x)=x(1+sqrt1+x2)21+x22x∗x−1+sqrt1+x2=x(1+sqrt1+x2)21+x22x2−(1+sqrt1+x2)(21+x2)=x(1+sqrt1+x2)21+x22x2−(2sqrt1+x2+2(1+x2))=x(1+sqrt1+x2)21+x2−2sqrt1+x2−2Et à partir de la j'ai beau simplifier pour chercher la formule je retombe sur
-1/(x+x√(1+x²)Je joint le développement que j'effectue ensuite
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VVenx dernière édition par
f′(x)=−2sqrt1+x2−221+x2x(1+sqrt1+x2)=−2sqrt1+x2−221+x2∗(x(1+sqrt1+x2)=−2sqrt1+x2−22x1+x2+2x(1+x2)=−sqrt1+x2−1x1+x2+x(1+x2)f'(x)=\frac{\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2\sqrt{1+x^2}*(x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2x\sqrt{1+x^2}+2x(1+x^2)}=\frac{-sqrt{1+x^2}-1}{x\sqrt{1+x^2}+x(1+x^2)}f′(x)=x(1+sqrt1+x2)21+x2−2sqrt1+x2−2=21+x2∗(x(1+sqrt1+x2)−2sqrt1+x2−2=2x1+x2+2x(1+x2)−2sqrt1+x2−2=x1+x2+x(1+x2)−sqrt1+x2−1
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VVenx dernière édition par
La j'essaie de multiplier par la racine en factorisant et tout ceci mais je ne trouve pas la bonne piste y aurait-il une erreur ou tout simplement une piste inexplorer ??
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Zauctore dernière édition par
Venx
f′(x)=(g(x)h(x))′(g(x)h(x))=g′h−gh′h2gh=g′h−gh′ghf'(x)=\frac{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)'}{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)}=\frac{\frac{g'h-gh'}{h^2}}{\frac{g}{h}}=\frac{g'h-gh'}{gh}f′(x)=(h(x)g(x))(h(x)g(x))′=hgh2g′h−gh′=ghg′h−gh′
bonne idée, mais t'es pas allé au bout : c'est $\fbox{\frac{g'}g - \frac{h'}h}$ !
et après calcul on retombe bien sur−1x1+x2\frac{-1}{x\sqrt{1+x^2}}x1+x2−1
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VVenx dernière édition par
Ha oué effectivement c'est tout de suite plus simple je n'y avais pas penser, merci beaucoup.
IL faut donc :
f′(x)=2x(21+x2)(1+1+x2)−1x=x1+x2+1+x2−1x=−1+x2−1x(1+x2+1+x2)=(sqrt1+x2)(−1+x2−1)xsqrt1+x2(1+x2+1+x2)=−1xsqrt1+x2f'(x)=\frac{2x}{(2\sqrt{1+x^2})(1+\sqrt{1+x^2)}}-\frac{1}{x}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1+x^2}-\frac{1}{x}=\frac{-\sqrt{1+x^2}-1}{x(\sqrt{1+x^2}+1+x^2)}=\frac{(sqrt{1+x^2})(-\sqrt{1+x^2}-1)}{x sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}+1+x^2)}=\frac{-1}{x sqrt{1+x^2}}f′(x)=(21+x2)(1+1+x2)2x−x1=1+x2+1+x2x−x1=x(1+x2+1+x2)−1+x2−1=xsqrt1+x2(1+x2+1+x2)(sqrt1+x2)(−1+x2−1)=xsqrt1+x2−1