Erreur de calcul dans une dérivée ?


  • V

    Bonjour,
    l'objectif de l'exercice est de trouver la dérivée de la fonction suivante :
    f(x)=ln(1+1+x2x)f(x)=ln\left( \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)f(x)=ln(x1+1+x2)

    On sait que le résultat est :
    f′(x)=−1x∗1+x2f'(x)=\frac{-1}{x*\sqrt{1+x^2}}f(x)=x1+x21

    Pour plus de faciliter mes réponses sont dans le post qui suit:


  • V

    Ayant à faire à une fonction logarithme :
    f(x)=ln(u)
    f'(x)=u'/u

    Je pose donc :
    g(x)=1+1+x2g(x)=1+\sqrt{1+x^2}g(x)=1+1+x2
    h(x)=xh(x)=xh(x)=x

    Donc :

    f′(x)=(g(x)h(x))′(g(x)h(x))=g′h−gh′h2gh=g′h−gh′ghf'(x)=\frac{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)'}{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)}=\frac{\frac{g'h-gh'}{h^2}}{\frac{g}{h}}=\frac{g'h-gh'}{gh}f(x)=(h(x)g(x))(h(x)g(x))=hgh2ghgh=ghghgh

    Pour calculer g'(x) nous décomposons g(x) en composée de fonction :
    u(x)=1+√x
    v(x)=1+x²
    g(x)=(u o v)
    g'(x)= (u o v)'= (u' o v)* v'

    Ainsi :
    g′(x)=121+x2∗2x=2x21+x2g'(x)= \frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}*2x=\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}g(x)=21+x212x=21+x22x


  • V

    Nous remplassons tout cela dans notre formule de départ :
    f′(x)=2x21+x2∗x−1+sqrt1+x2x(1+sqrt1+x2)=2x2−(1+sqrt1+x2)(21+x2)21+x2x(1+sqrt1+x2)=2x2−(2sqrt1+x2+2(1+x2))21+x2x(1+sqrt1+x2)=−2sqrt1+x2−221+x2x(1+sqrt1+x2)f'(x)= \frac{\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}*x-1+sqrt{1+x^2}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{\frac{2x^2-(1+sqrt{1+x^2})(2\sqrt{1+x^2})}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{\frac{2x^2-(2sqrt{1+x^2}+2(1+x^2))}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}f(x)=x(1+sqrt1+x2)21+x22xx1+sqrt1+x2=x(1+sqrt1+x2)21+x22x2(1+sqrt1+x2)(21+x2)=x(1+sqrt1+x2)21+x22x2(2sqrt1+x2+2(1+x2))=x(1+sqrt1+x2)21+x22sqrt1+x22

    Et à partir de la j'ai beau simplifier pour chercher la formule je retombe sur
    -1/(x+x√(1+x²)

    Je joint le développement que j'effectue ensuite


  • V

    f′(x)=−2sqrt1+x2−221+x2x(1+sqrt1+x2)=−2sqrt1+x2−221+x2∗(x(1+sqrt1+x2)=−2sqrt1+x2−22x1+x2+2x(1+x2)=−sqrt1+x2−1x1+x2+x(1+x2)f'(x)=\frac{\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2\sqrt{1+x^2}}}{x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2\sqrt{1+x^2}*(x(1+sqrt{1+x^2})}=\frac{-2sqrt{1+x^2}-2}{2x\sqrt{1+x^2}+2x(1+x^2)}=\frac{-sqrt{1+x^2}-1}{x\sqrt{1+x^2}+x(1+x^2)}f(x)=x(1+sqrt1+x2)21+x22sqrt1+x22=21+x2(x(1+sqrt1+x2)2sqrt1+x22=2x1+x2+2x(1+x2)2sqrt1+x22=x1+x2+x(1+x2)sqrt1+x21


  • V

    La j'essaie de multiplier par la racine en factorisant et tout ceci mais je ne trouve pas la bonne piste y aurait-il une erreur ou tout simplement une piste inexplorer ??


  • Zauctore

    Venx

    f′(x)=(g(x)h(x))′(g(x)h(x))=g′h−gh′h2gh=g′h−gh′ghf'(x)=\frac{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)'}{\left(\frac{g(x)}{h(x)} \right)}=\frac{\frac{g'h-gh'}{h^2}}{\frac{g}{h}}=\frac{g'h-gh'}{gh}f(x)=(h(x)g(x))(h(x)g(x))=hgh2ghgh=ghghgh

    bonne idée, mais t'es pas allé au bout : c'est $\fbox{\frac{g'}g - \frac{h'}h}$ !

    et après calcul on retombe bien sur−1x1+x2\frac{-1}{x\sqrt{1+x^2}}x1+x21


  • V

    Ha oué effectivement c'est tout de suite plus simple je n'y avais pas penser, merci beaucoup.
    IL faut donc :
    f′(x)=2x(21+x2)(1+1+x2)−1x=x1+x2+1+x2−1x=−1+x2−1x(1+x2+1+x2)=(sqrt1+x2)(−1+x2−1)xsqrt1+x2(1+x2+1+x2)=−1xsqrt1+x2f'(x)=\frac{2x}{(2\sqrt{1+x^2})(1+\sqrt{1+x^2)}}-\frac{1}{x}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}+1+x^2}-\frac{1}{x}=\frac{-\sqrt{1+x^2}-1}{x(\sqrt{1+x^2}+1+x^2)}=\frac{(sqrt{1+x^2})(-\sqrt{1+x^2}-1)}{x sqrt{1+x^2}(\sqrt{1+x^2}+1+x^2)}=\frac{-1}{x sqrt{1+x^2}}f(x)=(21+x2)(1+1+x2)2xx1=1+x2+1+x2xx1=x(1+x2+1+x2)1+x21=xsqrt1+x2(1+x2+1+x2)(sqrt1+x2)(1+x21)=xsqrt1+x21


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