Fonction homographique



  • Bonjour à tous,
    Je dois répondre à l'énoncé suivant:

    Existe-t-il une fonction homographique f tel que f(x)=ax+b / cx+d dont la représentation est une hyperbole H
    -passant par le point A(-1;6)
    -admettant comme asymptote les droites y=2 et x=1 ?

    je ne vois pas trop comment effectuer l'exercice, ma première idée était de résoudre l'équation f(-1)=6 sauf que le résultat ne me convient pas.
    pour la deuxième partie de l'énoncé sur les asymptotes, en voyant qu'il en existe une qui vaut x=1, je peux déduire que ma fonction est définie sur R/{1} sauf que je ne comprends pas vraiment pourquoi.
    Dois-je d'abord réécrire ma fonction de base sous forme d'un produit ?

    sachant que la question suivante de l'exercice porte sur l'étude de cette fonction f.

    Merci d'avance.



  • salut

    1. f(-1) = 6 est une bonne approche, incomplète.

    2. si 1 est valeur interdite, c'est que le numérateur vaut ... lorsque x = 1
    cela permet d'écrire une autre équation.

    3. enfin, asymptote horizontale y=2 lorsque lim f(x) = 2 pour x tendant vers +∞.

    explore ça.



  • d'après ton indication2) je peux écrire
    Pour x = 1, le numérateur vaut 0
    donc a+b = 0

    3) je dois simplement montrer que la limite de la différence f(x)-y (pour y =2) lorsque x tend vers +∞ vaut 0 ?
    mais cela m'avance t il réellement dans la résolution de l'exercice ?

    je ne comprends pas quelle forme doit avoir ma réponse enfait.
    que dois-je prouver?



  • re.

    la première condition impose (b-a)/(d-c) = 6

    la dernière... ta méthode est trop générale : ici on est dans le cas d'une asymptote horizontale.

    quelle est la limite de (ax+b)/(cx+d) lorsque x tend vers +∞ (de deux façons) ?



  • la limite de (ax+b)/(cx+d) lorsque x tend vers +∞ :
    lorsque x tend vers +∞
    im(ax+b)=+∞
    lim(cx+d)=+∞

    lim (ax+b)/(cx+d) est donc une forme indéterminée car quotient dont les limites sont de la forme ∞/∞

    donc je simplifie mon expression générale tel que :
    (ax+b)/(cx+d) = x(a+b/x) / x(c+d/x)
    ⇔(ax+b)/(cx+d) = (a+b/x) / (c+d/x)
    maintenant je peux lever la forme indéterminée et j'ai
    lim (ax+b)/(cx+d) = 0 lorsque x tend vers +∞
    car lim (a+b/x) / (c+d/x) = 0
    ?



  • lim (a+b/x) / (c+d/x) = 0 : non

    tu sais que lim d/x = 0 = lim b/x lorsque x tend vers +∞

    la limite cherchée est donc ...



  • mais c'est aussi une forme indéterminée limite " 0/0 ".



  • non, plus maintenant avec ce que tu as fait : lim (a+b/x) / (c+d/x).
    la limite à l'infini est parfaitement déterminée.

    ce n'est pas du tout une forme "0/0" de toute façon.



  • ok donc j'essaye de reprendre:

    Pour x→+∞
    lim (a+b/x) = 0
    lim(c+d/x) = 0
    Est-ce faux ?



  • Citation
    Pour x→+∞
    lim (a+b/x) = 0
    lim(c+d/x) = 0
    Est-ce faux ?
    oui

    prenons un exemple numérique pour fixer les idées : 2+3x2 + \frac3x

    alors on a limx+2+3x= ?\lim_{x \to + \infty} \quad 2 + \frac3x = \cdots \ ?



  • Et bien cette limite vaut 0 ?



  • pas du tout

    prends un "grand" nombre pour x, mettons x= 1 000 000 000.

    combien trouves-tu pour 2 + 3/x ?



  • ah oui en effet c'est faux..
    j'ai oublié la constante ?

    lim 3/x lorsque x→+∞ vaut 0

    mais lim 2 + 3/x lorsque x→+∞ vaut 2
    ?



  • voilà

    donc en revenant à (a + b/x)/(c + d/x), tu trouves la limite quand x tend vers +∞

    et ce n'est pas 0 ni 0/0. 😁



  • lim(a + b/x)/(c + d/x) = lim a/c



  • tout simplement a/c

    donc cela doit être égal à 2 dans ton exo.

    peux-tu dès lors trouver a, b, c et d vérifiant toutes ces conditions ?



  • Condition 1
    (b-a) / (d-c) = 6

    Condition 2
    a/c=2

    Condition 3
    a+b=0


 

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