Calculs de produits scalaires

Bonjour à tous!
Je bloque sur une question dans un exercice sur les produits scalaires ...

ABCD est un carré
IJK sont les milieux respectifs de AB, BC et CD.
Le but est de prouver que PQRS est un carré.
Voici le lien de la figure pour mieux comprendre :
http://img10.hostingpics.net/pics/387026PICT2576.jpg

Montrer que AJ.ID = 0
Question faite!
Etablir que PS.ID = AL.AD
En déduire l'expression de PS en fonction du côté a du carré ABCD.

On voit que L est le milieu de AD. A vrai dire, ce n'est pas marqué sur mon énoncé. Il faudrait peut être que je le démontre.

Avec ça, on pourrait dire que S est le projeté orthogonal de L sur ID et que P est le projeté orthogonal de A sur ID.
Donc que PS est le projeté orthogonal de AL sur ID.
Donc que PS.ID = AL.AD ??
Mais le problème, c'est qu'avec les projetés orthogonaux, on admet que PQRS est un carré. Donc je pense qu'il s'agit plus de la conclusion....
Je vous avoue que je suis un peu perdue dans cette question...

Merci de votre aide et bonne fin de semaine.

t'es parti sur de mauvaises bases (utilise produit scalaire)

alors voila mon raisonnement

PS.ID=AL.AD

on remplace PS par ( PA + AL + LS ) et ID par (IA + AD)

ce qui donne
(PA+AL+LS).(IA+AD) = [ PA.IA + PA.AD ] + AL.IA + AL.AD + [ LS.IA + LS.AD ]

'j'ai fait expré d'encadré pour que tu comprene)

alors deja AL.IA=0
ensuite PA.IA + PA.AD = PA.(IA+AD) = PA.ID =0

pareil pour LS.IA + LS.ID = LS.(IA+AD) = LS.ID = 0

AU FINAL PS.ID=AL.AD

tu fais la suite de l'exo maintenant ?

Je comprends tout à fait ton raisonnement.
Merci beaucoup!

La seul souci c'est qu'on ne sait pas que PA et ID sont perpendiculaires, vu qu'on veut prouver que PQRS est un carré. Donc on ne peut pas affirmer que PA.ID = O.
De même pour LS et AD ...

loool regarde ton énoncé ! la premiere question tu as calculé koi ? ( AJ.ID non???)

PA colinéaire a AJ et PS col à ID donc >>>>> PA.ID vaut koi ?

ensuite pareil pour LS.ID
LS col à LC hors LC est paralléle AJ (prouvé dans l'hypothese : ta construction )
pour deux droites parallele : toute perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre
donc LS.ID vaut koi ??

tu comprends maintenant ??(le carré n'intervient pas du tout)

Hinnnnn . Tout s'explique.
MERCI BEAUCOUP.

Mais comment je fais pour dire que LC et AJ sont parallèles?
Vu que je ne suis pas censée savoir que L est le milieu de AD.
J'aimerai vraiment mettre que "ca se voit" mais mon prof n'aime pas tellement cet humour-là.

mais dans ton énoncé on di pas que L est milieu de AD ou que vecteur AL = BJ ou un truc du genre????? (poste tout ton énoncé)

Eh bien non justement.
On me dit :
"Les points I,J,K étant les milieux des côtés du carré ABCD, il s'agit de montrer que le quadrilatère PQRS, construit comme l'indique la figure ci-après, est un carré."

...

c'est ca ton énoncé dans son intégralité??? (poste tout)

Oui. Dans son intégralité!!!! Avec la figure.

Je te donne les questions :

Montrer que AJ.DI = 0, après avoir exprimer AJ en fonction de AB et AC, puis DI en fonction de DA et DB.
Etablir que PS.ID = AL.AD
En déduire l'expression de PS en fonction du côté a de ABCD.
Conclure (donc montrer que PQRS est un carré je suppose) et répondre à la question subsidiaire : Exprimer l'aire du carré PQRS en fonction de l'aire de ABCD.

L'énoncé semble être tiré d'un manuel... Donc je ne pense pas que ça soit un oubli...

c mon intuition (avec l'expérience, je ne pense pas que L soit tombé du ciel (essaie de vérifier l'énoncé) il doit y avoir I,J,K,L milieu de ABCD

dans ce cas PS.ID = AL.AD

ensuite tu peux déduire le rapport entre AL*AD / ID = PS t'auras expression de PS en fonction de a

(fais tout ca et je te donne les pistes pour la fin ) (ce sera facile)

Bon on va faire comme si L était le milieu de AD.

J'ai calculé ID avec pythagore. Et je trouve √5.a÷2
Et du coup quand je calcule PS, je trouve a÷√5 .

Et je pense que c'est bon parce que pour la dernière question
je trouve bien Aire de ABCD = a²
et aire de PQRS = a²/5
Ce qui parait logique parce que si on reforme tous les petits carrés par pivotement, on peut en caser 5 dans ABCD.
C'est ça ?

Il me reste à prouver que PQRS est un carré.
On a déja prouvé qu'il avait 2 angles droits en P et en S, que PQ et SR sont parallèles.
Il faudrait prouver que QR et PS sont parallèles, mais c'est faisable avec I et K milieu des côtés.
MAis tout ça ne suffit pas pour prouver que c'est un carré non?

Lorsque j'écris l'égalité suivante PS = Al.AD / ID
J'écris en normes ? ou en segment?

Non enfait, je dis que AL et AD sont colinéaires, de même pour PS et ID.
Du coup AL.AD = PS.ID (tout en normes)
Je pense que c'est ça

c simple a comprendre regarde

(je parle en vecteur pour ce qui suit)
PS.ID=AL.AD (leur cosinus dans les deux produits scalaires valent 0) on peut donc écrire

(la je parle en norme) ll PS ll * ll ID ll = ll AL ll * ll AD ll

en determinant la norme de PS tu es dacord qu'en divisant PS par AD on trouvera le rapport entre le petit carré et le grand ???
pour carré de coté a >> AL= a/2 ; AD=a et ID = a√5/2

ce qui donne (avec les valeurs ) ll PS ll = [(a/2)*a]/(a√5/2) ...

(je poste la suite)

ll PS ll = [(a/2)*a]/(a√5/2)
= a/2 * a * 2/(a√5)
=a/(√5)

donc le petit carré a pour coté ll PS ll = a/(√5) ( en divisant AD/PS on trouve √5) maintenant on conai le coté PS combien il vaut, quand on aura prouver que c'est un carré on poura calculer l'aire qui est (a/(√5))*(a/(√5))=a²/5

c'est compris tout sa??? , je passe maintenant a la demonstration du carré et on aura terminé l'exo

Oui, c'est ce que j'ai trouvé.
Donc ll PS ll = a/√5

Ensuite pour la question subsidiaire,
le petit carré est 5 fois plus petit que le grand.
Car l'aire de ABCD = a² et l'aire de PQRS = a²/5
C'est exacte?

Mais avant la question subsidiaire, je dois prouver que PQRS est un carré ....

On a posté en même temps la même chose, ça c'est de la coordination!
Merci beaucoup.
Plus qu'une seule chose à prouver !!!

Je ne vois pas trop pourquoi tu divises AD par PS
Mais je trouve la même chose donc bon

non j'ai écrit que en divisant AD/PS on obtient √5 donc ABCD est √5 fois plus grande que PQRS

maintenant pour l'aire c'est bien a²/(a²/5) (avec a² aire ABCD et a²/5 aire PQRS) a²/(a²/5) = 5

l'aire de ABCD est 5 fois plus grande que l'aire de PQRS (ce qui est logique √5²=5

(je passe a la démo du caré ? en faite je pense que pour cete démo il faut utiliser les questions précédentes)

c'est tout simple de dire que c'est un carré

on a (par construction) AJ paralléle à LC ; et BK parallele à ID

donc PQ est parallele à RS et PS est parallele à QR

t'es d'accord pour ca ?

maintenant on a en plus du parallelisme entre tous les coté opposé des orthogonalité

on a prouvé que AJ et ID étaient orthogonaux donc on a bien PS et PQ orthogonal

par construction on a aussi BK et LC orthogonal (si tu veux prouver BK.LC
= (BC+CK).(LD+DC).......=0

donc SR orthogonal à QR.

voila comment on défini le carré

essaie de visualiser le schéma (tu as deux segments paralleles , en plus de ca tu as une orthogonalité entre deux points de ces segments ) (c'est pas un carré ?)

Oui je vois ce que tu veux dire.
Mais en gros là, tu as montré que PQRS a 3 angles droits et que c'était un parallélogramme.
Mais un rectangle conviendrait aussi pour cette définition non?
Il y a pas une histoire de Côtés de même longueur?

J'ai trouvé ça :
"Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur alors c'est un carré"

Mais après, comment trouver une autre longueur...

Si on fait le même raisonnement en partant d'une autre égalité?
Au lieu de AJ.DI dans la première question, on prend BK.LC par exemple?
Mais ça risque d'être long...
Surtout que la question commence par "Conclure". Le résultat devrait donc être évident...

pour prouver que PS= SR on pourait dire que refaire le cheminement de l'exo en disant que LC.SR=DC.DK
mais je pense que c'est plus simple (je poste demain la réponse si c pas trop tard, je vais juste dormir quelque heures (parce qu'il fait nuit) lol

j'avais pa vu ta réponse , ui je pense que c'est plus simple ..

Pas de souci!

Je pense que je peux reprendre le même cheminement en simplifiant un peu.
Et en disant que c'est le même raisonnement.
On verra demain
La nuit portera peut-être conseil!

bonjour je revien pour le finish

PS//QR et PQ//SR ( sa c démontrer a la construction)
on a maintenant AJ.ID = 0 >>(pour deux droites parallele : toute perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre)<<

donc PQ.PS= 0, SR.QR=0

maintenant ( il existe bien deux uniques possibilité possible (le carré et le rectangle) pour que deux vecteurs paralele voit que les droites qui passent par leur extrémité respectives sont parallele ) tu vois l'idée ???

maintenant regarde sa:si un rectangle a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un carré.

alors on doit prouver que PR.QS=0
(PS+SR).(QR+RS)
= PS.QR + PS.RS + SR.QR + SR.RS = 0

donc on a prouvé que c'est un carré

sinon mon autre idée : regarde (cette fois ci je n'utilise pas le truc des diagonales orthogonale)

AJ.ID=0

et puis on peut dire que par construction PS.ID=AL.AD=PQ.AJ=BI.IA

une fois qu'on a dit sa PQ=PS

ainsi on a deux coté consécutif égaux

voila je suis certain que c'est bien la conclusion atendu, on a utilisé le fait que AJ.ID = 0

et que PS.ID = AL.AD (comme on est dans ABCD on a PS.ID=PQ.AJ=SR.LC=QR.BK)

J'ai pris la méthode des diagonales, comme ça j'utilise les produits scalaires.
Il me manque juste une chose,

Quand on a l'égalité développée,
Comment prouver que PS.QR=0 et que SR.RS=0 ???
Sinon tout est parfaait!

Donc la deuxième méthode est plus appropriée?

sa c'est simple : (vecteur) SR et RS sont de sens opposé donc signe du produit scalaire négatif

PS.QR voit leur vecteur de meme sens et donc le produit scal positif

et comme PS.QR=SR.RS on a PS.QR + SR.RS = 0 (sa te convient ?)

moi j'aurais sincerement préféré ma deuxieme méthode !!

Comment tu sais ça?
J'ai du louper quelque chose ...
PS.QR=SR.RS?

Excuse moi pour toutes ces questions, j'essaye d'être sure d'avoir tout compris

PS.ID = AL.AD (comme on est dans ABCD on a PS.ID=PQ.AJ=SR.LC=QR.BK)

sa vient de la (bon je vais a l'école et quand je revien je posterai le devoir tel que je l'aurai rédigé (peut etre que tu comprendras mieux)

Il me manque juste cette dernière étape
Je veux bien que tu me développe la rédaction pour prouver que les diagonales sont orthogonales, notamment ceci :
PS.ID = AL.AD (comme on est dans ABCD on a PS.ID=PQ.AJ=SR.LC=QR.BK)
Ca reste flou! Mais sinon c'est tout bon

Merci Merci Merci!

montrer que AJ.DI=0

(AB+BJ).(DA+AI)= AB.DA + AB.AI + BJ.DA + BJ.AI

AB.DA=0 et BJ.AI=0 car nous sommes dans un carré

de plus ll AB ll=ll DA ll, ll AI ll=ll BJ ll. étant donné que BJ et DA sont de sens contraire on a AB.AI=-BJ.DA

on obtient donc AJ.DI=0

on peut aisément établir que AJ.DI=AJ.BK=LC.BK=0 (de cette facon on traduit le parallélisme entre AJ(PQ) et LC(SR), DI(PS) et BK(QR)
AJ.DI=AJ.BK=LC.BK
PQ.PS=PQ.QR=SR.QR

t'es daccord?

Etablir que PS.ID = AL.AD

PS.ID =(PA+AL+LS).(IA+AD)
=[ PA.IA + PA.AD ] + AL.IA + AL.AD + [ LS.IA + LS.AD ]

AL.IA=0

PA.IA + PA.AD = PA.(IA+AD) = PA.ID =0 car est colinéaire à IJ et AJ.DI=0

LS.IA + LS.ID = LS.(IA+AD) = LS.ID = 0 car LS est colinéaire à LC.hors LC.BK=AJ.BK (cf question 1)
(si deux droites ( (AJ) et (LC) ) sont perpendiculaire à une meme droite (BK)
alors ces deux droites (LC) à (AJ) sont parallèles
donc LC.DI=0

on obtient donc PS.ID=AL.AD

on peut établir que AL.AD=AI.AB=BJ.BC=CK.CD
d'ou PS.ID=PQ.AJ=QR.BK=SR.LC
d'ou ll PS ll = ll PQ ll = ll QR ll = ll SR ll

t'es daccord?

en déduire l'expression de PS en fonction du coté a du carré ABCD

PS.ID (avec ID=a√5/2 biensur) peut s'écrire ll PS ll x a√5/2 x cos(0)= ll PS ll x a√5/2

AL.AD (avec AD=a et AL=a/2) peut s'écrire a x a/2 x cos (0) = a²/2

donc PS.ID=AL.AD

ll PS ll x a√5/2 = a²/2 ( tu comprends ici qu'on peut trouver la norme de PS en divisant AL.AD par ID ou a²/2 par a)
ll PS ll = (a²/2)/(a√5/2)
= a/√5

PS=a/√5 ou [ PS=AB/√5 (puique a=AB), on doit comprendre ici que AB et √5 fois plus grand que PS)

saisie tout sa ?

3)Conclure et répondre à la question subsidiaire :
Exprimer l'aire du carré PQRS en fonction de l'aire de ABCD.

on a PS.PQ=SR.QR=0 (cf question 1) et PS=PQ=QR=SR (confere question 2) on a bien un carré de coté a/√5

les cotés du carré ABCD étant √5 fois supérieur à celui des coté de PQRS.
l'aire de ABCD est donc (√5)²=5 fois supérieur à celui de PQRS
(en tant que premiere S cette rédaction est bonne, tu peux te passer de coté*coté= aire ....)

Merci beaucoup pour cette rédaction complète.
Etant donné que j'avais déjà écrit ma rédaction, j'ai rajouté quelques éléments manquants, je n'ai pas tout recopié mots pour mots

Je suis bien heureuse d'avoir fini ce devoir!
MERCI BEAUCOUP POUR TON AIDE (très précieuse)

derien