Produit scalaire 1°S

Bonjour à tous,
J'ai un exercice à faire, et j'ai quelques difficultés..

Voici l'énoncé:

**C est un cercle de centre O et de rayon 8.
A est un point fixe situé à l'intérieur du cercle C tel que OA = 5
Une équerre APQ, dont l'angle droit est fixé en A, tourne autour de ce point. Les droites (AP) et (AQ) coupent le cercle C et E et en F.
M est le milieu du segment [EF].
On cherche l'ensemble T des points M

En utilisant une théorème de la médiane dans le triangle OEF, montrer que M est caractérisé par légalité
OM² + AM² = 64
Determiner alors l'ensemble T recherché.**

Voici ce que j'ai fait pour la 1ere question:

**OE² + OF² = 8² + 8² = 128
OE² + OF² = 2OM² + 1/2 EF²

donc 2 OM² + 1/2 EF² = 128
or AEF est un triangle rectangle en A et M milieu de EF donc AM = EM = MF = 1/2EF

donc 2 OM² + AM² = 128 => 0M² + AM² = 64**

*Ensuite je bloque pour la 2 :
*

**D'après le théorème d'al kashi:

OA² = OM² + AM² - 2 x OM x AM x cos OMA (est ce vraiment OMA)
25 = 64 - 2OM x MA x cos OMA
-39 = -2 x OM x MA x cos OMA
39/2 = OM x AM x cos (MA;MO) (en vecteurs)
39/2 = OM.MA (en vecteur)**

Pour trouver les coordonnées de M Il faut créer un milieu à ce triangle me semble t'il mais je ne vois pas du tout comment faire ... pourriez vous m'éclairer s'il vous plait ??

Merci d'avance pour votre aide

c pa bien de reprendre les erreurs des gens ......

l'erreur est la suivante: lorsque cette personne est arrivé à 2OM² + AM² = 128
il a divisé le OM par 2 (ca c dak) il a ensuite divisé par 2 le 128 (c aussi c dak) mais il a oublié le AM² donc tout le résultat est faux ....

mais les forums sont fait pour aider donc:

regarde :(si tu as fait le schéma ...) dans le triangle OEF tu en as un autre : AEF.. ou inversement selon le dessin AEF peut etre dans OEF ...

en regardant de plus prés tu as AM² qui s'avére étre la médiane de AEF
et OM² la mediane de OEF

(deja un premier point) ensuite on peut en terme de calcul établir des relations entre la formule de la mediane de OEF et AEF
essaye de faire sa , si tu y arrive pas je posterai des indications ou bien la réponse

J'ai fait un schéma, j'ai bien AEF dans le triangle OEF avec les 2 médianes mais je ne vois pas comment faire ensuite .. Enfin il faut se servir du théorème de la médiane mais là encore je bloque ..

Je me suis trompée pour la 1 puisqu'en faite : 1/2 EF² = 2(1/2 EF)² =2AM.

J'arrive pas à aller plus loin que 2OM² + AM² = 128 ..

alors c deja bien que tu aie repérer les deux médianes alors on va les écrires

OE²+OF² = 2OM² + 1/2 EF²

AE²+AF² = 2AM² + 1/2 EF²

voila on a deux equations, (essaie d'en faire quelque chose) pense a un systeme d'equation ... et ici on a des points communs entre les deux (ce qui arrange beaucoup la suite ...)

OE² + OF² - (AE²+ AF²) = 2OM² + 2AM²
= 128
Mais après on ne connait pas OE OF AE AF .. ?

lol si justement OE=OF=8

de plus AEF est triangle rectangle donc AE² + AF² = ???

par contre j'aime pas la facon dont tu as fait OE² + OF² - (AE²+ AF²) = 2OM² + 2AM²
= 128

(d'ou ca sort ?)

essaie plutot l'addition membre a membre ...(pense a un systeme d'equation ) le raisonnement est vachement plus simple

en developpant j'arrive à : 2(OM²+AM²) + EF² = 128

car AE² + AF² = EF² et OE² + OF²=128

Mais du coup je bloque encore ..

comme tu la di AE² + AF² = EF²
et OE² + OF²=128

et regarde : OE²+OF² = 2OM² + 1/2 EF²

AE²+AF² = 2AM² + 1/2 EF²

OE²+OF² + AE²+AF² = 2OM² + 1/2 EF² + 2AM² + 1/2 EF²
daccord??

1/2 EF² + 1/2 EF² = EF²
et m1tnan on fait passer de l'autre coter soit:

OE²+OF² +
AE²+AF² - EF²= 2OM² + 2AM²
128 = 2 (OM²+AM²)
OM²+AM²=64

ok pour tout sa ?
m1tnan tu peux essayer la suite .. (si tu réussi pa je posterai la rep)

Ok pour tout ça merci beaucoup ! Effectivement avec le système d'addition c'est beaucoup plus simple !

Pour la 2 j'ai fait ce que j'ai marqué plus haut, à l'aide du théorème d'al kashi, mais enfaite il faut que j'utilise à nouveau le théorème des médianes ?

bon je vais dormir (si tu trouve pas je posterai la rep demain matin)

ici c une conclusion donc faut pas chercher bien loin:

au debut on di que M est defini dans OEF par OM²+AM²=64

hors l'intéré du théoreme de la mediane c de ramener une equation avec plusieur inconu (M) a une seule

d'accord ? (cad que dans la formule final on aura qu'une seule apparition de M >> 2MI² + 1/2 AB²)

bon ici l'astuce c de se placer dans OAM et ui puisque avec OM²+AM² on a pas d'autre choix de triangle..
essaie a partir de ca, d'introduire un point (un milieu) qui fera que ton résultat final ne contiendra qu'un seul M..

tu n'as rien fai ? ....

bon je t'explique d'une autre facon pour que tu comprenne le raisonnement a avoir (c valable tous le temps , ce que je vais te dire la "en mathématique")

voila dans la premiere question on a fait sa OM²+AM²=64

dans la deuxieme question tu dois te demander en quoi ce précédent calcul va t'aider a conclure ..

voila: deja dans le théoreme de la mediane : l'intéré , ce que pour tous point M qui varie.., on sauras trouver des valeurs pour M (ca c le cour)

ici on va se placer dans OAM, M varie (ça c sur) mais O et A sont deux points fixe... on va définir I le milieu de [OA] (parsque comme je l'ai dit, [OA] ne varie pas !) et on applique betement la formule
soit MO²+MA²= 2MI² + OA²/2

on sait que OA=5 et OM²+AM²=64
donc 64=2MI²+ 25/2
64 - 25/2 = 2MI²
128/2 - 25 / 2 = 2MI²
103/2 = 2MI² >> (103/2)/2=2MI²
√(103/4)=MI²
enfin (√103)/2=MI

Tu sais que I ne varie pas et que : quelque soit la place de M, IM= (√103)/2
en déduit que L'ensemble T est le cercle de centre I est de rayon (√103)/2

voila ! (espérons, avec la quantité de mot écrit que tu aies compris)

Bonjour,

merci beaucoup ! J'avais un peu commencé mais là encore je trouvais faux ! Je me suis trompée dans la formule, j'oubliais de diviser OA² par 2;

lorsque qu'on a 103/2 = 2MI² >> (103/2)/2=2MI² Je ne sais pas si c'est juste une erreur mais je ne comprends pas pourquoi on enlève pas le 2 de devant MI² puisqu'on le passe de l'autre coté de l'équation ... ? Ainsi que pour √(103/4)=MI² .. il faut enlever le carré là non ?

(103/2)/2=2MI²
en effet c une erreur de ma part dsl..
c (103/2)/2=MI²

et √(103/4)=MI on enleve le carré parce qu'on a mis la racine..

c la meme chose que √(103)/ √(4) =MI

et √4=2 donc √(103)/2=MI

D'accord ! merci pour tout ça en tout cas !!

A bientot sur le forum

ok ok ....