Etudier une suite définie par récurrence et donner son expression en fonction de n

Les suites c'est pas mon fort... Voici l'exercice, je suis perdue ! je n'ai malheuresement rien compris. un indice !

On considère la suite $u_n$ ) définie sur $mathbb{N}$ par $u_0$ =6 et la relation: $u_{n+1}$ = $(4 u$ _n $1)/(u_n$ +2)

déterminer la fonction f telle que: $u_{n+1}$ = $f(u_n$ ) et montrer que léquation f(x)= x a une solution α.
montrer que f est strictement croissante sur ]-2; +∞[.
placer $u_0$ , $u_1$ , $u_2$ , $u_3$ , $u_4$ , $u_5$ , $u_6$ , sur l'axe des abscisses du graphique joint en annexe, sur lequel est tracé la courbe représentative de f.
Aucune justification n'est demandée, mains on laissera les traits de construction.
donner une conjecture sur la convergence de la suite ( $u_n$ ).
on pose: pour tout n de $mathbb{N}$ : $v_n$ = 1/( $u_n$ -1)
montrer que: pour tout n de $mathbb{N}$ : $v_{n+1}$ = 1/3 + $v_n$
a) donner une expression de $v_n$ en fonction de n.
b) en déduire une expression de $u_n$ en fonction de n.
démontrer que la suite $u_n$ ) converge vers un nombre que l'on précisera.

Pas la moindre idée, même sur la question 1 ?
Elle n'est pas difficile, tu as $u_{n+1}$ = $(4 u$ n $1)/(u_n$ +2), et tu veux trouver f telle que $u$ {n+1} $f(u_n$ ). L'expression de f ne serait-elle pas déjà donnée dans l'énoncé ?

eh bien je ne comprends pas très bien... on doit remplacer $u_n$ par $u_0$ ?

Non, ce n'est pas ça. La suite $u_n$ est définie par récurrence. Cela signifie qu'on la définit en donnant son premier terme, à savoir $u_0$ =6, et une relation permettant, a partir d'un terme, de calculer le suivant, à savoir $u$ _{n+1} $= (4 u$ _n $1)/(u_n$ +2). Cette relation est vraie pour tout entier naturel n. Pour connaître les termes de ta suite, tu va devoir calculer $u_1$ à partir de $u_0$ qui t'es donné, et de cette relation, puis calculer $u_2$ à partir de $u_1$ , etc.

Par exemple :
$u$ _1 $= (4 u$ _0 $1)/(u_0$ +2)
=(4*6-1)/(6+2)
=23/8.

$u$ _2 $= (4 u$ _1 $1)/(u_1$ +2)
=(4*(23/8)-1)/((23/8)+2)
=84/39.

etc...

Oui, mais je ne comprends pas comment on fait pour déterminer que $u_{n+1}$ = $f(u_n$ )... On doit faire la fonction associée ??

Pour cela il faut trouver la dérivée et ensuite d'étudier son sens de variation, c'est ça ?, mais il me faut d'abord la fonction que je n'a pas...
Pour cette question, je pense que ces résultats sont les suivants:
$u_3$ = 99/2
$u_4$ = 394/103
$u_5$ = 491/200
la suite $u_n$ ) est minorée par -2 ... ?

pour les questions suivantes, je suis bloquée... :frowning2:

Pour trouver f, tu sais que $u$ {n+1} $f(u_n$ ) et que $u$ {n+1} $= (4 u$ _n $1)/(u_n$ +2).
Tu as donc $f (u$ _n $) = (4 u$ _n $1)/(u_n$ +2).
Donc f(x)=...
C'est ça.
Il ne s'agit pas de calculer numériquement les termes de la suite, mais de les placer graphiquement sans les calculer grâce à la courbe représentative de f. Il existe une méthode graphique pour faire ça, mais je te l'expliquerai plus tard, là je n'ai pas beaucoup de temps.

f(x)= (4x-1)/(x+2).
f'(x)= (3x-6)/(x+2)²

3x-6>0 ⇒ x> -6/3 ⇒ x>-2
(x+2)²>0

donc f(x) est strictement croissante sur ]-2; +∞[

La dérivée est fausse.

Si tu veux comprendre la méthode graphique pour représenter les termes d'une suite définie par récurrence, regarde ici : http://www.math...ours-93.html.

f'(x)= (3x+6)/(x+2)²

Personnellement, je trouve f' $x)=9/(x+2)^2$ . Comment calcules-tu ta dérivée ?

et bien j'utilise la fomule u'v-uv'/v²

Ici u(x)=4x-1, et v(x)=x+2.
Donc u'(x)=4 et v'(x)=1.
Donc (u/v)'(x)=(u'(x)v(x)-u(x)v' $x))/v(x)^2$
$4(x+2)-(4x-1)*1)/(x+2)^2$
$9/(x+2)^2$ .

ah oui, je me suis trompée...

la suite $u_n$ ) est minorée par -2.

Merci pour le lien, j'ai compris la méthode

C'est vrai que la suite est minorée par -2, mais ce n'est pas ça qu'on te demande. On te demande une conjecture sur la convergence de $u_n$ , c'est à dire sur l'existence et la valeur de sa limite en +∞. Ici, tu verras sur ton graphique que $u_n$ ) semble converger vers 1, ce qui d'ailleurs, comme par hasard, correspond justement à l'unique solution de l'équation f(x)=x, que tu as trouvée à la question 1.
Les questions suivantes visent à trouver l'expression de $u_n$ en fonction de n, et ainsi de vérifier cette conjecture.

Pour donner une conjecture, c'est par lecture graphique ? par lecture graphique, On peut conjectuer que la limite de $u_n$ ) est 4.

j'ai essayé pour le 5 mais je suis bloquée, ou sinon j'ai eu une erreur de calcul que je n'arrive pas à trouver:

$v_{n+1}$ = $1/(u_{n+1}$ -1)= $1 / [(4 u$ _n $1)/(u_n$ +2)-1]= $1 / [(4 u$ _n $- 1) / (u$ _n $+ 2) - (u$ _n $2)/(u_n$ )+2]= $1 / [(3 u$ _n $- 3) / (u$ _n $2)-(2u_n$ -3)/2]= $1/(u_n$ -3)

et après cela je ne sais pas quoi faire.

mais alors si normalement il converge vers 1, sur mon graphique la fonction est majorée par 4 ...

?? :rolling_eyes:

Désolé pour mon absence pour hier et avant hier...
Pour la question 5 l'idée est bonne. Le calcul est bon jusqu'à :
$v_{n+1}$ = $1/(u_{n+1}$ -1)= $1 / [(4 u$ _n $1)/(u_n$ +2)-1]= $1 / [(4 u$ _n $- 1) / (u$ _n $+ 2) - (u$ _n $2)/(u_n$ )+2]

c'est à dire (je réécris en Latex, c'est plus clair) :
$vn+1=14un−1un+2−un+2un+2v_{n+1}=\frac{1}{\frac{4u_n-1}{u_n+2}-\frac{u_n+2}{u_n+2}}$ .
Par contre, après, c'est :
$vn+1=13un−3un+2=un+23un−3=33un−3+un−13un−3=1un−1+13=vn+13v_{n+1}=\frac{1}{\frac{3u_n-3}{u_n+2}}=\frac{u_n+2}{3u_n-3}=\frac{3}{3u_n-3}+\frac{u_n-1}{3u_n-3}=\frac{1}{u_n-1}+\frac{1}{3}=v_n+\frac{1}{3}$ .

Pour la question 4, normalement par lecture graphique on devrait voir converger la suite vers 1. Il faut faire attention à ne pas confondre la suite et la fonction. La fonction correspond à la courbe pré-tracée sur ton graphique. Sur ]2, +∞[, elle est en effet majorée par 4, et elle tend vers 4 en +∞. La suite est aussi majorée par 4 dès son second terme (attention : $u_0$ =6), mais ce n'est pas important. L'important est qu'elle est minorée par 1 et qu'elle converge vers cette valeur. Si tu construits, comme c'est expliqué sur le lien que je t'ai donné, les points dont les abscisses sont les premiers termes de la suite, tu verras qu'ils sont tous au dessus de 1 mais s'en rapprochent de plus en plus. C'est en remarquant ça que tu fais ta conjecture.