Etude d'une fonction trigonométrique en Terminale S

Bonjours à tous je doit faire un exercice d'un annabac (nathan TS sujet non corrigés) et je bloque sur l'un d'eux.
On me dit :
on note E l'application de R dans R qui au réel t associe partie entière E(t), qui vérifie la relation : E(t)<=t<E(t)+1
on considère la fonction de f de [0,2 $p i$ ] dans R définie par :
pour tout x de ]0,2 $p i$ ], f(x)=sin[xE( $p i$ /x)] et f(0)=0

montrer qur, pour tout réel t : t-1<= E(t)
j'ai reussit
calculer la limite quand x tend vers 0 par valeur supérieures de la fonction définie par x -> xE( $p i$ /x) pour 0<x<2 $p i$ , en déduire la continuité de f à l'origine.
je trouve comme limite $p i$ et lim et donc limite f(x)=sin( $p i$ )

puis arès je bloque car on me demande :

3)résoudre dans [0,2 $p i$ ], l'équation E( $p i$ /x)=0, puis l'équation E(/x)=k avec k entier naturel non nul et explicier f sur les intervalles ] $p i$ /3; $p i$ /2] et ] $p i$ /2; $p i$ ]
je ne comprend pas trop ce que représente E donc je n'ai aucune idée de la façon dont je peut résoudre l'équation.
je vous remercie d'avance de votre aide pour ma question 3)

Bonjour,
L'encadrement E(t) <= t < E(t)+1 définit une fonction classique, appelée "partie entière". Mais il y a une erreur dans ton énoncé : E est à valeurs ENTIERES. Si l'ensemble d'arrivée de E était l'ensemble des réels, l'encadrement ne définirait pas E correctement. En effet,
E(t) <= t < E(t)+1 equiv/ t-1 < E(t) <= t
Cette équivalence est à vérifier si elle ne te paraît pas évidente. Elle permet d'affirmer que :

Si l'ensemble d'arrivée de E est l'ensemble des réels, rien ne nous permet de décider lequel des réels x tels que t-1 < x <= t sera effectivement égal à E(t).
Exemple :
t=1.1, de sorte que t-1=0.1
Alors 0.1 < 0.2 <= 1.1 et 0.1 < 0.3 <= 1.1. L'encadrement définissant E(t) ne nous permet pas de dire si E(t) =0.2 ou E(t)=0.3 (ou E(t)=une infinité d'autres valeurs comprises entre 0.1 et 1.1)

Si l'ensemble d'arrivée de E est l'ensemble des entiers relatifs, alors l'encadrement de l'énoncé définit bien une fonction. Pour s'en assurer, il faut montrer que QUEL QUE SOIT t REEL, IL EXISTE UN UNIQUE ENTIER RELATIF, noté E(t), TEL QUE E(t) <= t < E(t)+1.
Donnons-nous donc un nombre réel t quelconque. Il existe des nombres entiers inférieurs ou égaux à t. Notons n le plus grand de ces entiers. Alors n <= t (parce que n est l'un des entiers inférieurs à n) et n+1>t (parce que si ce nétait pas le cas, on aurait n+1 <= t , en contradiction avec le fait que n est LE PLUS GRAND des entiers tels que n<=t). Donc n <= t < n+1.
Nous avons donc trouvé un entier vérifiant l'inégalité de départ. Mais il nous reste à vérifier que cet entier est UNIQUE. Supposons donc qu'il existe p,q entiers tels que p <= t < p+1 et q <= t < q+1. Nous allons montrer que p=q.
En multipliant le second encadrement par -1, on obtient -q-1 < -t <= -q. En ajoutant, ce nouvel encadrement à celui sur p, on peut écrire p-q-1 < 0 < p-q+1, qui est équivalent à
p-q< 1 ET p-q>-1
Mais p-q, en tant que différence de deux entiers, est un nombre entier. Compris strictement entre -1 et 1, il n'a d'autre choix que d'être nul. p-q=0 donc p=q donc l'entier n tel que n <= t < n+1 est bien unique. Il est légitime de le noter E(t).

Souvenons-nous maintenant de la façon dont nous avons montré l'EXISTENCE de E(t). Nous avions choisi le plus grand entier inférieur ou égal à t (puis nous avons démontré que c'était le seul choix possible). Si t est positif, par exemple t=1.123456, le plus grand entier inférieur ou égal à t n'est autre que 1, si t est négatif, par exemple t=-1.123456, le plus grand entier inférieur ou égal à t est -2. Essaye donc de te convaincre que :

Si t est positif, sa partie entière E(t) s'obtient en enlevant les décimales
Si t est négatif, sa partie entière E(t) s'obtient en enlevant les décimales et EN SOUSTRAYANT 1.

A+

Bonjour, je dois faire exatement le meme exercice, et moi aussi je comprends pas a partir de la question 3: je vois pas ce qu'ils veulent dire par "expliciter f sur tel intervalle"
Est ce que par hasard vous aureiez corrigé lexercice? Merci A++