Déterminer si la suite est géométrique et calculer sa raison et son premier terme

[zari]

Bonjour j'ai un exercice à résoudre , je dois déterminer si la suite est géométrique et si oui calculer sa raison et son premier terme .

1. u1 = -3 pour tout entier ≥1 , un+1= 2un/3
   2)u1 = 5^n+1 , n∈$mathbbN$
2. $un=n{2}^n$ , n∈$mathbbN$
   4)u2 = 2 et n ≥2 , un+1/un = -1

Alors je sais pas comment montrer que ce sont des suites géométriques
1)u0 = -9/2 et q =2/3
2) je n'y arrive pas
3)u0 = 0 et q= 0 donc je pense que ce n'est pas une suite géométrique
4)je n'y arrive pas
Pouvez vous m'aider pour ce que j'arrive pas , merci d'avance .

[Iron]

Bonjour zari,

Citation

1. u1 = -3 pour tout entier ≥1 , un+1= 2un/3
   Oui.
   Mais, je ne suis pas sûr que le premier terme soit $U_0$. $U_1$ peut aussi être le premier terme de la suite ... ça dépend de l'énoncé.

$(U_n$) peut être une suite géométrique de premier terme $U_1$=-3 et de raison q=2/3
ou $(U_n$) peut être une suite géométrique de premier terme $U_0$=-9/2 et de raison q=2/3

avec la précision "pour tout n≥1" j'aurais tendance à laisser $U_1$ en premier terme, mais je me trompe peut-être.

[zari]

Je pense que vous avez raison , mais comment je montre que c'est une suite géométrique ?

[Iron]

Citation
2) u1 = 5^n+1 , n∈$mathbbN$

Je suppose qu'il s'agit de

$U_n$ = $5^{n+1}$ , n∈$mathbbN$

n∈$mathbbN$ donc le premier terme est U0 = 5

Pour déterminer la nature de cette suite, calcule :

$U_{n+1}$ / $U_n$ = ... en utilisant $a$^n$/a^p$ = $a^{n-p}$

[Iron]

zari
Je pense que vous avez raison , mais comment je montre que c'est une suite géométrique ?

Tu calcules $U_{n+1}$ / $U_n$ = ...
Si, pour tout n≥1, tu obtiens une constante
indépendantede n, alors la suite est géométrique et sa raison est la constante trouvée.

[zari]

pour $U_{n+1}$/ $U_n$ je trouve 5 j'ai pris n=0

[zari]

Pour la 1) $U_{n+1}$ / $U_n$ je trouve 4/9

[Iron]

zari
Pour la 1) $U_{n+1}$ / $U_n$ je trouve 4/9
Non, pour la 1) :

$U_{n+1}$ / $U_n$ = $[2/3U_n$] / $U_n$ = 2/3 en simplifiant en haut et en bas par $U_n$

[Iron]

zari
pour $U_{n+1}$/ $U_n$ je trouve 5 j'ai pris n=0
Oui, ça donne 5 ... mais pourquoi tu dis avoir pris n=0 ?

$U_{n+1}$/ $U_n$ = $5^{(n+1)+1}$ / $5^{n+1}$ = $5^{n+2}$ / $5^{n+1}$ = $5^{(n+2)-(n+1)}$ = ...

[zari]

Ah d'accord moi j'avais remplacé le n par 0
Et donc on dis que le suite est independante de n donc c'est une suite géométrique

[zari]

donc ca $5^1$ donc égale à 5 donc indépendante de n donc c'est une suite géométrique

[Iron]

Citation
3)u0 = 0 et q= 0 donc je pense que ce n'est pas une suite géométrique

Pour cette question 3) utilise la méthode du contre-exemple :

Pour n=0 $U_0$ = 0
Pour n=1 $U_1$ = ...
Pour n=2 $U_2$ = ...
Pour n=3 $U_3$ = ...

et montre que $U$_3$/U_2$ ≠ $U$_2$/U_1$ par exemple, cela prouve que la suite n'est pas géométrique.

[Iron]

zari
donc ca $5^1$ donc égale à 5 donc indépendante de n donc c'est une suite géométrique
Oui et la raison est q=5

N'oublie pas que pour caractériser une suite géométrique il faut
son premier termeet sa raison.

[zari]

Je voulais savoir pour la 2) la raison c'est 5 ?

[Iron]

Citation
4)u2 = 2 et n ≥2 , un+1/un = -1

C'est $U_{n+1}$ / $U_n$ = -1

ou

$U_n$+1 / $U_n$ = -1 ... ?

[zari]

Alors pour la 3) j'ai fais $u_3$ - $u_2$=4 et $u_2$ - $u_1$ = 2 donc ce n'est pas une suite géométrique

[zari]

Pour la 4) c'est $u_{n+1}$ / $u_n$ = -1

[Iron]

zari
Alors pour la 3) j'ai fais $u_3$ - $u_2$=4 et $u_2$ - $u_1$ = 2 donc ce n'est pas une suite géométrique

Il faut diviser ... pas soustraire

$U$_3$/U_2$ = ...

$U$_2$/U_1$ = ...

[Iron]

zari
Pour la 4) c'est $u_{n+1}$ / $u_n$ = -1

Le résultat est donc évident ... je te laisse réfléchir.

Le prbl du premier terme se pose à nouveau.

Faut-il prendre $U_0$ comme premier terme ou $U_2$ ... je ne suis pas sûr.

[zari]

ca fais tous les deux 2 donc c'est une suite géométrique

[Iron]

zari
ca fais tous les deux 2 donc c'est une suite géométrique

Je suppose que tu parles de la 3) alors non.

$U_0$ = 0 × $2^0$ = 0
$U_1$ = 1 × $2^1$ = 2
$U_2$ = ... = 8
$U_3$ = ... = 24

Pour moi, les rapports $U$_3$/U_2$ et $U$_2$/U_1$ ne sont pas égaux !

[zari]

ah oui j'ai oublié de faire *n au début

[zari]

Pour la 4) je ne vois pas comment faire mais à mon avis le premier terme est $u_2$

[zari]

Pour la 4) $U$_{n+1}$/U_n$ = -1 donc indépendant de n donc c'est une suite géométrique

[Iron]

zari
Pour la 4) $U$_{n+1}$/U_n$ = -1 donc indépendant de n donc c'est une suite géométrique

Tout à fait

$U$_{n+1}$/U_n$ = -1 donc

$U_{n+1}$ = -1 × $U_n$ = q $U_n$

Par définition, c'est une suite géométrique de raison q=-1

[zari]

D'accord merci beaucoup pour votre aide .

[Iron]

Je t'en prie.

à+