Spé math mélangeant similitude et angle

[Venx]

Bonjour,
Je me retrouve face à un problème que je n'arrive pas à résoudre, pourriez vous m'indiquez quelques pistes s'il vous plaît, voici l'énoncé ( en gras les vecteurs):

Soit O un point du plan oriénté. A chaque point M du plan on associe le point G défini de la manière suivante :

• Si M=O, G=0
• Sinon, on construit le triangle OMM' rectangle en M tel que (OM,OM')=$pi$/4 (2$pi$). Le point G est donc le centre de gravité du triangle OMM'.

1. Montrer que si M est différent de O,

• cos(OM,OG)=2√5/5
• sin (OM,OG)=√5/5
• OG/OM=√5/3

2. En déduire les élement caractéristique de la transformation qui associe à achque point M, un point G

3)Soit une droite D ne passant pas par O. On suppose que M décrit D,

• Quel est le lieu L du point G quand M décrit D?
• Indiquer une construction géométrique de L.

Je bute qur la première question, j'ai essayer différentes méthodes :
--> remplacer OG car c'est un barycentre : 3OG=OM+OM'
--> De placer pour tout points M du plan d'affixe z, on a M' d'affixe z'$=e^{i$pi$/4}$z
--> De trouver l'argument de l'angle Arg(OM,OG) avec les affixe trouver au dessus, en remplassant OG et en mettant chales mais j'aboutit sur $sqrt$2/6 ou (1+$sqrt$2 )/2

Arg(OM,OG)=Arg(OM,OM+OM')= $Arg(e^{i$pi$/4}$+1)= Arg(2+$sqrt$2*1/2+i$sqrt$2/2

ou

OG= (OM+OM'$)/3=z(e^{i$pi$/4}$+1)/3
Arg(OM;$OG)=Arg((e^{i$pi$/4}$+1)/3)=Arg(($sqrt$2+6+i$sqrt$2)/6

Merci d'avance de votre aide pour une piste ou une erreur de ma part

[Céline]

Salut,
On considère le repère orthonormé de centre O, d'axe des abscisses OM, d'axe des ordonnées ON tel que OMM'N est un carré de côtés 1.
MG=(2/3)MP
Avec P le centre du carré
PG=√2/6
Pythagore avec le triangle OGP
implique OG=√5/3
D'où OG/OM=√5/3

Après grâce à cette longueur utilise Al Kashi dans le triangle OMG
(a/sin a=b/sin b)
tu en déduis le sinus.
Puis le cosinus

[Venx]

D'accord merci beaucoup, c'est bon je suis déblquer