DM suites : fraction continue pour racine de 2

Bonjour, j'ai essayé de faire l'exercice, j'en ai fait une partie, mais toute l'autre partie m'échappe complètement, je rame quoi... Alors si vous pouviez m'aider ce serait super sympa!! Merci!!

Voilà l'exercice:

Soit $u_n$ ) la suite définie par $u_0$ =1 et pour tout n≥0,

$u_{n+1}$ = $1+(1/(1+u_n$ ))

$un+1=1+11+unu_{n+1} = 1 + \frac1{1+u_n}$

1.a. Calculer u_1, u_2, u_3 sous forme de fraction irréductible.

b. Tabuler la suite à la calculatrice. Semble-t-elle avoir une limite si oui laquelle ?

2.a. Montrer que si u indice n est un rationnel positif, u_{n+1} l'est aussi.

b. Expliquer pourquoi on peut en déduire que tous les termes de cette suite sont des rationnels positifs.

3. On pose v_n= (un-√2)/(un+√2) pour tout n≥0.

$vn=un−2un+2v_n = \frac{u_n - \sqrt2}{u_n+\sqrt2}$

a. Montrer que pour n≥0, v_{n+1} = (1-√2)/(1+√2) v_n.

$vn+1=1−21+2vn.v_{n+1} = \frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2} v_n.$

b. En déduire la nature et la limite de la suite (v_n).

c. En déduire la limite de la suite (u_n).

4. Que peut-on dire de l'affirmation: " la limite d'une suite de rationnels est un rationnel " ?

**5.**Expliquer ce que peut signifier l'écriture:

√2= 1+(1)/(1+(1)/(1+(1)/(1+...)))

$2=1+11+11+11+11+⋯\sqrt2 = 1 + \frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\cdots}}}}$

J'ai fais la 1.a., mais pas la b., j'ai fais la 2.a. mais pas la b. non plus.

J'ai fais aussi la 3.a., pour la 3.b. j'ai trouvé que c'est une suite géométrique de raison Vn mais je ne suis pas sure, et je n'ai pas trouvé sa limite.

Pour la 3.c, la 4. et la 5. Je ne comprends rien... Je vois même pas du tout comment je pourrai résoudre ça...

Voilà, merci d'avance pour votre aide!!

*** Edit Zorro : modification du titre = J'ai besoin d'aide pour un exercice pour un Dm!! )

utilisation du bouton indice***

[Réécriture en LaTeX - NdZ]

En fait j'en aurai besoin avant demain midi si c'est possible... C'est vraiment urgent. Merci de votre compréhensions.

Bonjour,

Pour écrire plus joliment les énoncés avec des indices, afin de pouvoir faire la différence entre $U_{n+1}$ et $U_n$ + 1 merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici.

Et puis pour la fraction de $u_{n+1}$ = $1+(1/(1+u_n$ )) ; merci de tenir compte de ce qui est expliqué ici .

Est-ce

$un+1,=,1,+,1,1,+,un,u_{n+1}, = ,1 ,+, \frac{1}{,1,+,u_{n},}$ ?

salut

pour 1b tu peux dresser un tableau de valeurs débuté à la question précédente :

$\begin{tabular}{c|c|c|c|c} \ n & 0 & 1 & 2 & \dots \ \hline{} \ u_n & 1 & 1,5 & 1,4 & \dots \ \end{tabular}$

mais à l'aide de la machine tu peux obtenir ceci pour de "grandes valeurs" de l'indice n. tu vas voir que les valeurs de u_n tournent autour de 1,414.

pour 2b : si u_n est rationnel positif alors u_{n+1} l'est aussi (c'est ce que tu as vu à 2a. cela signifie que si un terme est rationnel positif, alors son successeur l'est aussi. mais alors ce raisonnement s'applique aussi à u_{n+1}, qui est rationnel positif, ce qui entraine que son successeur u_{n+2} l'est aussi, etc.

pour 3b : la raison est $1−21+2\small\frac{1-\sqrt2}{1+\sqrt2}$ , fais attention. pour ce qui est de sa limite : que penses-tu de la position de cette raison par rapport à 1 ? (rappelle-toi ce que le cours t'enseigne au sujet de la limite de $q^n$ ...)

@+

Oui c'est ça Zorro. C'est U indice (n+1).

J'ai trouvé comment trouver la limite de $V_n$ . Enfin je pense...

@ Zauctore: On sait que si -1 < q < 1 alors
$lim⁡n→+∞qn=0\lim_{n\rightarrow +\infty}q^{n}=0$

Or : $1−21+2≃−0.17\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\simeq -0.17$
à 0.01 près.

Or : $v_{n}=v_{0}*q^{n}$

Donc : $lim⁡n→+∞(1−21+2)n=0\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} \right)^{n}=0$

Donc : $lim⁡n→+∞(vn)=0\lim_{n\rightarrow +\infty} \left(v_{n} \right)=0$

Par contre pour la c., je n'y arrive vraiment pas!!

Je sais que sa limite doit être √2, mais je n'arrive pas à le prouver à partir de la limite de $V_n$ .

Je pense que l'affirmation : " la limite d'une suite de rationnels est un rationnel " est donc fausse, vu que √2 n'est pas un rationnel.
Je ne comprend pas du tout...

Merci pour votre aide.

Je suis encore là jusqu'à 15h, après je rentre à l'internat et je n'aurai plus moyen d'avoir votre aide... Merci de votre compréhension.

Pour la limite de $u_{n}$
Je suis en train d'essayer de calculer sa formule...
Ca donne :

$vn=un−2un+2v_{n}=\frac{u_{n}-\sqrt{2}}{u_{n}+\sqrt{2}}$

$(un+2)(vn)=un−2\left( u_{n}+\sqrt{2}\right)\left(v_{n} \right)=u_{n}-\sqrt{2}$

$(un)(vn)+2×(vn)=un−2\left( u_{n}\right)\left(v_{n} \right)+\sqrt{2}\times \left(v_{n} \right)=u_{n}-\sqrt{2}$

$un−2=vn(2+un)u_{n}-\sqrt{2}=v_{n}\left(\sqrt{2}+u_{n} \right)$

$un=vn(2+un)+2u_{n}=v_{n}\left(\sqrt{2}+u_{n} \right)+\sqrt{2}$

Je suis bloquée ici...

ok

v_n tend vers 0 c'est clair.

alors vu que

$vn=un−2un+2v_n = \frac{u_n - \sqrt2}{u_n + \sqrt2}$
alors tu as (simple calcul)

$un=1+vn1−vn2u_n = \frac{1 + v_n}{1 - v_n}\sqrt2$
et en faisant tendre vers +∞ le membre de droite tend bien vers... ce que tu pressentais !

pour 4, tu as bien vu.

@ Zauctore

Je n'ai pas du tout compris ton calcul...
Pourquoi $un=1+vn1−vn2u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}}\sqrt{2}$ ???

Quand je développe ta formule, cela me donne bien U_n en effet, mais je ne comprend pas du tout comment tu es arrivé à ça!!

Finalement j'ai jusqu'à 18h30!! En plus je suis presque arrivée au bout là!!! Il faut juste que je comprenne comment faire la 5. et comprendre aussi ce que tu as fait comme calcul Zauctore pour la 3.c. ^^

Merci de votre aide en tout cas!!

UP PLEASE!!!

re.

je suis revenu trop tard, je sais... dsl.

je continue le topic "pour la forme"

c'est une petite plaisanterie de ma part de dire que le passage de

$vn=un−2un+2v_n = \frac{u_n - \sqrt2}{u_n + \sqrt2}$
à
$un=1+vn1−vn2u_n = \frac{1 + v_n}{1 - v_n}\sqrt2$
est un simple calcul.

il faut d'abord écrire
$vn(un+2)=un−2v_n(u_n + \sqrt2) = u_n - \sqrt2$
puis
$vnun−un=−vn2−2v_n u_n - u_n = -v_n \sqrt2 -\sqrt2$
c'est-à-dire
$un(vn−1)=−(vn+1)2u_n(v_n - 1) = -(v_n + 1)\sqrt2$
il reste alors à diviser...

Merci de ton aide!!

Mais personne n'a d'idée pour la 5???
J'y arrive pas, et les term S que je connais non plus!!!

MERCI!!!

il suffit d'écrire la suite des premiers termes

$u_0 = 1$

$u1=1+11+1u_1 = 1 + \frac1{1+1}$

$u2=1+11+11+1u_2 = 1 + \frac1{1+\frac1{1+1}}$

$u3=1+11+11+11+1u_3 = 1 + \frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+1}}}$

$u4=1+11+11+11+11+1u_4 = 1 + \frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+\frac1{1+1}}}}$

et ainsi de suite.

à gauche ça tend vers √2, la limite de la suite ; à droite tu vois qu'il n'y a que des 1/1+ qui se répètent "indéfiniment" (l'indice indique le nombre de traits de fraction).

Oui mais avec ta manière si je calcule u2 je trouve 5/3 alors que avec l'autre formule je trouve 7/5...On remplace bien le Un par le résultat du terme précédent???

S'il te plait aide moi je dois le rendre demain matin en première heure.... C'est la seule question qu'il me manque...

ah oui attends j'ai écrit une ânerie, trop vite tout-à- l'heure

on a $u_0 = 1$ et $un+1=1+11+unu_{n+1} = 1 + \frac1{1+u_n}$

$u1=1+11+1=1+12=32u_1 = 1+ \frac1{1+1} = 1 + \frac12 = \frac32$

$u2=1+11+32=1+25=75u_2 = 1+\frac1{1+\frac32} = 1 + \frac25 = \frac75$ de la première façon

maintenant, si j'écris

$u2=1+11+u1=1+11+1+11+1=1+12+12u_2 = 1+\frac1{1+u_1} = 1+\frac1{1+1+ \frac1{1+1}} = 1+ \frac1{2 +\frac12}$

on voit qu'il y a une erreur dans la dernière question de ton énoncé (oui d'ailleurs je me rappelle maintenant que c'est pour le nombre d'or, cette expression bizarre qui est dans ton énoncé initial).

la dernière question aurait dû être :

$2=1+12+12+12+12+12+…\sqrt2 = 1 + \frac1{2 + \frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\dots}}}}}$

merci vraiment merciii!!!

ok

tu vois aussi que de la même manière, on a

$u3=1+11+u2=1+11+1+12+12=1+12+12+12u_3 = 1 + \frac1{1+u_2} = 1 + \frac1{1 + 1+\frac1{2+\frac12}} = 1 + \frac1{2 +\frac1{2+\frac12}}$

voilà pour le début.

et ainsi de suite...