La mouche bionique ou le paradoxe de Zénon.

Bonjour à tous,
J'ai un DM à faire pour vendredi et je suis bloquée à la question 1 de la $1eˋre1^{ère}$ et de la $2eˋme2^{ème}$ partie ce qui fait que je ne peux pas faire la suite -_-"
Aidez moi svp !!

Partie A :
AIKJ est un carré de 72 mm de côté et de centre O
L est le milieu du segment [KJ]
La droite (AL) coupe la droite (JI) en B
$B_1$ est le projeté orthogonal de B sur la droite (AJ)

1°) Calculer la distance $AB_1$

H est le projeté orthogonal de B sur la droite (AI)
P est l'intersection des droites (BH) et (AK)
Le point Q de (AK) et R sont les deux autres sommets du carré BQRP
La droite (Δ) symétrique de (AL) par rapport à (BH) coupe (AK) en C
$C_1$ est le projeté orthogonal de C sur la droite (AJ)

2°) Démontrer que C est le centre de gravité du triangle BPR
3°) En déduire la distance $B$ _1 $C_1$

La droite parallèle à (AL) passant par C recoupe (IJ) en D
$D_1$ est le projeté orthogonal de D sur la droite (AJ)

4°) Démontrer que les triangles ODC, OCB et OBA sont semblables
5°) En déduire la distance $C$ _1 $D_1$

Partie B :

La distance Paris-Marseille est évaluée à 720 km
2 trains TGV part÷ent à 10h le premier de Paris vers Marseille le second de Marseille vers Paris. Tous 2 roulent à une vitesse moyenne de 360 km/h
Une mouche bionique installée à 10h sur la motrice du premier train part en direction du second à la vitesse de 720 km/h. Elle fait demi tour quand elle rencontre le deuxième train et repart vers le premier ainsi de suite jusqu'à ce qu'elle se fasse écraser quand les deux trains se croisent.

6°) Quelle distance aura-t-elle parcouru ? En combien de temps ?

Partie C : L'objet de cette partie est de prouver l'hypothèse émise à la question 6.

7°) Quelle distance a parcouru la mouche lors de sa première rencontre avec le second train ? En combien de temps ?
8°) Quelle distance a parcouru la mouche lors du premier trajet retour ? En combien de temps ?
9°) On appel un la longueur du trajet parcouru par la mouche entre la $nieˋmen^{ième}$ rencontre avec l'un des trains et la $(n+1)ieˋme(n+1)^{ième}$ rencontre avec l'autre un et tn le temps nécessaire à ce parcours. Exprimer u0 u1 et u2 puis t0 t1 et t2
10°) Justifier que les suites $u_n$ ) et $t_n$ ) sont géométriques et donner leur raison
11°) Exprimer $u_n$ et $t_n$ en fonction de n
12°) En déduire la somme de n premier termes des suites $u_n$ ) et $t_n$ )
13°) Prouver votre conjecture émise à la question 6

Vérifier ainsi qu'un nombre fin est la somme d'une infinité de termes finis.

Merci d'avance.

Salut,
Pour la question 1 de la partie 1 on peut utiliser un repère orthonormé.
Le carré pour les calculs aura chaque côté de longueur 1.
On suppose que O est le centre du repère, que x est l'axe des abscisses (la droite parallèle à (AI)), et y l'axe des ordonnées, (la droite parallèle à (AJ)). (Pour visualiser le carré on tourne dans le sens trigonométrique AIKJ et A est en bas à gauche).
La droite (AL) a pour équation y=2x+1/2
La droite (IJ) a pour équation y=-x
L'intersection des deux:
2x+1/2=-x ssi x=-1/6

Donc après tu as la longueur BB1, et ensuite tu utilises Thalès.
Pour les mesures ne pas oublier ensuite de revenir au carré de côté 72mm au lieu de 1

Merci beaucoup!!
juste je comprend pas pourquoi x=-1/6

x=-1/6 c'est l'abscisse du point de croisement des droites (IJ) et (AL).
C'est le résultat de l'équation 2x+1/2=-x

Mais, je ne comprends pas comment on peut calculer la distance BB1 puisqu'on a seulement les coordonnées de B et non celles de B1. J'ai aussi le DM à faire pour vendredi !

Tu connais l'abscisse de B
tu connais l'abscisse de B1,-1/2 puisqu'il est sur la droite (AJ)
Donc BB1=1/3