Problème avec les ln

bonjour à tous, voilà j'ai un dm de maths j'ai réussi à tout faire sauf un exercice qui me pose problème car tout découle de la première question. donc si vous pouviez m'aider à débloquer cette première question merci beaucoup .
voici l'énoncé de l'exercice :

Démontrer que pour tout réel u > -1 , ln(1+u)<=u
En déduire que pour tout entier n>=1 , ln(1 + 1/n )<= 1/n puis que
(1 + 1/n)^n<= e [1]
De la même façon montrez que pour tout entier n >= 2 , (1 - 1/n)^-n >= e [2]
Démontrer à partir de [2] que pour tout entier n>= 1 , e<=((n+1)/n)^(n+1) [3]
Obtenir à l'aide de [1] et [3] que pour tout entier n>=1 ,
((n+1)/n)^n<=e<=((n+1)/n)^(n+1)
Soit la suite (Vn) définie pour tout entier n>=1 par Vn = ((n+1)/n)^n
Démontrer que pour tout entier n>=1 , 0<=e - Vn<=e/n
En déduire que la suite (Vn) est convergente, et quelle est sa limite ?

voilà merci par avance pour votre aide .

Salut,
souvent quand tu as une inégalité à montrer tu fais ainsi:
-tu mets tout d'un côté (façon de parler), pour que tu ais quelque chose de la forme A(u)≤0 ou A(u)≥0 (peu importe)
-Ensuite tu étudies cette fonction A.
(Dérive, signe de la dérivée, limites éventuelles de A, tableau de variation)
-et après tu auras ta réponse en "lisant" ton tableau de variation

Merci pour ton aide
On a donc f(x)=ln(1+u)-u
donc la dérivée est f'(x)=-u/(1+u) ce qui est négatif donc f est négative donc on a bien ln(u+1)<u

Par contre je voulais savoir si pour la question 3 il fallait utiliser la même méthode?

fais attention,
si f' est négative tu ne peux pas en conclure que f est négative mais tu en conclue que f décroissante.
Ici f' postive sur -1;0
et négative sur R+
donc f croissante sur -1,0
puis décroissante sur R+
et f(0)=0
donc f négative

et en toute rigueur il faut préciser que f continue sur -1;+inf

ensuite 3 est comme 2.
tu te serres de l'inégalité de 1.

Exact, merci

Pour la question 3), on utilise la même méthode?

Pour 3 tu fais comme avec 2, tu te sers de l'inégalité 1.

Ok je vais essayer

Je trouve:
On pose u= -1/n
On a alors ln(1-1/n) < -1/n
$ln(1-1/n)^{-n}$ > $1/n)^{-n}$
$e^{ln(1-1/n)-n}$ > $e^{(-1/n)-n}$
$1-1/n)^{-n}$ > $e^{-(-n/n)}$
$1-1/n)^{-n}$ > e

Est-ce juste?

oui c'est juste
n'oublies pas de préciser que pour tout n ≥2, -1/n≥-1/2>-1
et que tu peux donc utiliser l'inégalité valable pour tout u>-1
C'est un détail de rédaction mais très fortement apprécié

D'accord j'essayerais de penser à tous ses détails lors du bac

Par contre pour la 3)b) je ne comprends pas trop

je ne vois pas la 3b, je suppose que c'est la 4.
tu parts de [2] tu met sous le même dénominateur 1-1/n et ensuite tu fais un changement d'indice, tu poses n'=n-1.